Некоторые выводы о реальности на основе теории вероятности

Атеисты, увлекающиеся фундаментальной наукой, не верят в богов, но если бы им предложили выбрать какое-нибудь персонифицированное в мифах явление во вселенной, которое до сих пор не поддается прямому рациональному объяснению и всегда остается за пределами его полного понимания, думаю, большинство из них выбрали бы Фортуну - древнеримскую богиню удачи, повелительницу случая и вероятности.

Действительно большинство современных научных теорий говорят нам о том, что в основе своей наш мир имеет вероятностную природу. И никто не может управлять этими случайностями, кроме, разве что самой вселенной.



Образ Фортуны в европейской культуре один из самых собирательных и противоречивых. Ее часто, так же как и Фемиду изображают с завязанными или закрытыми глазами, что символизирует беспринципность случая. Так же часто ее изображают обнаженной и с ангельскими крыльями, что символизирует ее капризность, легкомысленность, противоречивость и дуалистичность, а так же возвышение над обычными нормами морали. Иногда ее изображают стоящей на неустойчивом шаре, на носочке одной ноги, что демонстрирует сильнейшее непостоянство. Обязательным атрибутом обычно является рог изобилия, что является одним из символов ее благодарности, обычно она улыбается, если использует его. Так же частым атрибутом является колесо, которое она крутит, что символизирует ее контроль над судьбой человека и делает ее схожей индусским Шивой.



Так или иначе, Фортуна это отождествление с чем-то фундаментальным, таким же стихийным и хаотичным как и другие первородные силы вселенной.

Главный вопрос этой статьи заключается в том, как часто вам улыбается, или наоборот отворачивается от вас эта богиня? Как часто с вами случаются маловероятные события? Хорошие такие, как выигрыш больших сумм в лотерею, или плохие такие, как несчастные случаи по нелепым с течениям обстоятельств. Скорее всего, читатель относится к золотой середине, статистическому большинству, тому самому, с которым ничего такого вообще никогда не происходило, либо происходило максимум один раз в жизни. Графическое отображение вероятности называется кривой нормального распределения Гаусса и выглядит так:

1.jpg


Средний рост людей на планете; средняя продолжительность жизни; распределение цен на рынке; количество бедных и богатых, здоровых и больных, умных и глупых; вероятность и сумма выигрыша в азартной игре, вероятность срабатывания закона Мёрфи - все это и многое другое можно изобразить в виде кривой нормального распределения.

Да и вообще, все во вселенной подчиняется этой кривой. Любое явление, где присутствует вероятность, подчиняется этой кривой. Неудивительно, кстати, что иногда Фортуну изображают стоящей не на шаре, а на выступе похожей формы. Собственно, как и говорилось, вероятность заложена в сам фундамент нашего мира. Все во вселенной состоит из элементарных частиц. А само существование частицы и ее поведение связано с вероятностной природой. Начнем с того, что для частицы в ее обычном состоянии нет понятия однозначного местоположения. Если мы попытаемся зафиксировать положение частицы, то столкнемся с тем, что она не может быть в одном месте, она как Фигаро, то тут, то там. Можно сказать, что она как будто размазана в пространстве, и эта ее размазанность проявляется в вероятности того, где она существует. То есть, имеется некая точка, где вероятность существования частицы наивысшая, это как пик Кривой Гаусса, в остальном пространстве эта вероятность стабильно убывает; но так же как и Кривая Гаусса стремится к нулю, но никогда его не достигнет; так и вероятность положения частицы в отдаленной точке пространства будет стремится к нулю, но никогда его не достигнет. Иными словами существует ненулевая вероятность, что мы можем обнаружить нашу частицу, которая вроде бы должна находиться где-то здесь рядом с нами, на другом краю Вселенной. Визуализировать распределение вероятности частицы в пространстве сложно. Можно как аналогию использовать график Кривой Гаусса, но надо понимать, что график кривой Гаусса определяет вероятность только для одной оси x, а в пространстве у нас есть еще ось y и z, по каждой из которых будет своя Кривая Гаусса.

Так это, что получается, может спросить читатель, что раз все состоит из частиц, и он сам тоже в том числе, то учитывая вероятностную природу их местоположения, есть вероятность того, что он внезапно может оказаться на другой планете. Совершенно верно, такая вероятность есть, но она так далеко расположена в одном из хвостов Кривой Гаусса, что это крайне-крайне-крайне маловероятно. Ведь для этого не одна частица, а все частицы должны одновременно испытать маловероятное для них состояние оказавшись так далеко от точки их максимальновероятного местоположения. А частиц в теле человека около 1000000000000000000000000000000, что делает вероятность вашего внезапного обнаружения себя на Марсе, крайне-крайне-крайне-крайне-крайне близкой к нулю. Но, что самое главное, все же отличной от нуля. Иными словами, вероятностная природа фундаментального устройства вселенной, делает потенциально возможным почти любые чудеса.

Но среднестатистический читатель этой статьи, который, скорее всего, сидит где-то на вершине кривой Гаусса ну или около нее, никогда этих чудес не увидит. Фортуна рассаживает всех людей в пределах выпуклости кривой нормального распределения, редко кого она может отправить на галёрки в тот или иной хвост этой кривой... Таких, обычно, называют или тотальный неудачник или невероятный везунчик, в зависимости от того в каком хвосте он оказался (хотя обычно бывает, что несчастливы находящиеся в обоих хвостах этой кривой – как например, слишком худые и слишком толстые, или наоборот очень высокие и очень низкие). Но даже и у этих людей все же будет огромный ряд жизненных аспектов, которые уложатся в пределах выпуклости кривой Гаусса.

Так или иначе, все мы в том или ином значении среднестатистические. Не то, чтобы я хочу сказать, что все люди заурядные. Конечно же, каждый из нас не по всем параметрам среднестатистический, и если взять всевозможные параметры, по которым можно оценивать человека и отметить их в виде полосок внутри выпуклости кривой Гаусса, то получится уникальная палитра. Но в целом, по большей части, совокупность всех наших параметров и характеристик уместится внутрь основной выпуклости. То есть каждый из нас уникально среднестатистический.


Основной тезис статьи: Я - СРЕДНЕСТАТИСТИЧЕСКИЙ


Итак, еще раз подчеркнув основную мысль этой статьи, продолжу рассказ о невероятных свойствах вероятности. Для начала вспомним, что такое статистика. Это как раз то самое понятие, которые обычно и укладывается в Кривую Гаусса. Иными словами, она наглядно показывает это самое распределение, когда у нас не один случай, а несколько, или не одна попытка, а несколько. То есть для статистики нужен анализ множественности случаев, тогда она может показать, где именно на кривой нормального распределения находится один конкретный случай. Теперь, внимание, допустим мы не знаем всей статистики, но мы исходим из того факта, что мы все же среднестатистические, тогда мы с определенной уверенностью можем сказать, что находимся на вершине Кривой Гаусса, ну или где-то рядом, но уж точно не в хвостах. Еще раз... Исходя из того факта, что я среднестатистический я могу делать выводы о том, что я нахожусь в наиболее вероятных для меня условиях, наиболее вероятном для меня местоположении и наиболее вероятной для меня реальности. Даже если я не знаю, какие всевозможные бывают иные условия, всевозможные иные местоположения и всевозможные иные реальности.

Статистический аргумент симуляции
или почему, скорее всего, мы все живем внутри компьютерной программы.

Идея, того что мир нереален, а является всего лишь компьютерной симуляцией не нова. Даже физики вплотную задаются этим вопросом, в частности, изучая квантовую природу нашего мира. Ведь если нельзя определить местоположение частицы, пока мы на нее не смотрим, почему тогда нельзя утверждать, что и сама частица в этот момент не существует. И только наше наблюдение делает ее существующей, как будто бы материя, на которую мы смотрим, и с которой взаимодействуем, подгружается специально для нас. Это очень походит на компьютерную игру, в которой моделируется огромный мир, но в виду ограниченности оперативной памяти компьютеров он загружается не весь, а постепенно подгружается по мере того как компьютерный персонаж продвигается по миру и мы вместе с ним, наблюдающие за этим смоделированным миром за экраном монитора. Кроме того, изучение черных дыр приводит ученых к так называемому голографическому принципу, который гласит, что вся физическая информация заключенная в объеме, может быть на самом деле лишь голограммой того, что записано на какой-либо поверхности, ограничивающей этот объем. Этот принцип указывает на то, что физическая действительность на самом деле может быть иллюзией, создающейся на основе каких-то иных процессов. Но, так или иначе, несмотря на обилие голливудских фильмов созданных на эту тему, реальных доказательств в пользу теории симуляции реальности у физиков нет. Зато эти доказательства есть у статистиков.

Итак, объясняю, в чем суть статистического аргумента симуляции. Если физический мир можно смоделировать, значит, когда-нибудь человечество достигнет таких технологических мощностей, что сможет это сделать. Причем, скорее всего, сможет сделать это не один раз, а несколько раз, или даже несколько миллионов раз. Ну и что же это значит, в чем же суть доказательства спросите вы. А вся суть в следующем: во вселенной может существовать огромное количество смоделированных миров и лишь один реальный. Какова вероятность того что вы сейчас находитесь в реальном мире, а не в смоделированном, учитывая что вы, вспоминаем основной тезис этой статьи, среднестатистический.

Этому аргументу можно привести два условия, при которых он не работает: 1) Человечеству никогда не достигнуть такой стадии развития, при которой оно сможет создавать такие реалистичные виртуальные миры. 2) Человечество по какой-либо причине даже если сможет это сделать, делать этого не будет.

Однако, если разобраться, то эти условия, при которых статистический аргумент симуляции не работает, не такие уж строго категоричные. Второе опровержение, по моему мнению, сразу можно отметать в связи с несостоятельностью... Поскольку если что-то можно сделать, то люди обязательно это сделают, так устроена природа человеческого разума. А вот первое опровержение может оказаться несостоятельным по причине того, что не только люди могут создавать симуляции... Возможно, мы живем в компьютерной программе, которую написали какие-нибудь высокоразвитые инопланетяне.

Статистический аргумент фатализма
или почему, скорее всего, все человечество скоро погибнет.

Это предположение иногда так же называют теоремой о конце света, или гипотезой судного дня. Основная суть идеи похожа и основывается на том же принципе наибольшей вероятности нашего существования в том или ином месте/времени. Итак, по оценкам ученых всего на земле жило около 100 миллионов людей, из них 20 миллионам довелось жить в наше время (имеется виду начиная с XX века). Вдумайтесь человечество как вид живет уже миллионы лет, и из всего человечества пятая часть родилась лишь за последние сто лет. Это говорит о том, что сейчас рост человеческой популяции идет по экспоненте, и скорее всего, учитывая развитие технологии, таким и останется.



То есть через тысячи лет число людей должно уже исчисляться квадриллионами. Собственно вопрос ставится таким же образом, если через тысячи лет число людей будет несколько квадриллионов, а спустя миллион лет возможно и несколько квинтиллионов, почему мне так не повезло родиться именно сейчас, когда людей всего несколько миллиардов.

Ведь я же среднестатистический! Поэтому, скорее всего, наиболее вероятно то, что я родился именно в ту эпоху, когда число людей на земле максимально. То есть, чтобы я находился на вершине кривой нормального распределения, график численности человечества в зависимости от времени должен выглядеть как-то так:



А это значит лишь одно, если я среднестатистический, то вскоре человечество должно погибнуть. То есть в скором времени должно что-то произойти, что резко сократит численность людей живущих на планете и постепенно приведет к их полному вымиранию. И здесь нам на помощь опять приходят голливудские фильмы, красочно рисующие картины всевозможных апокалиптических событий, после которых наступает постапокалиптическая фаза существования человека, покуда люди совсем не вымрут. Расчеты показывают, что через 9000 лет люди должны полностью вымереть с 95% вероятностью.

Статистический аргумент солипсизма
или почему, скорее всего, реальность это лишь плод моего воображения.

Последний аргумент, на самом деле, самый страшный и, кроме того, подрывает почву под предыдущими двумя аргументами. Для тех, кто не знает, объясню, что такое солипсизм, остальным же тоже будет не лишним вспомнить это. Солипсизмом называют философское учение, в соответствии с которым весь воспринимаемый нами мир, это лишь плод воображения нашего разума, который на самом деле полностью изолирован и замкнут в себе.

Неужели есть какое-то статистическое доказательство даже такой, в принципе, непроверяемой гипотезы. На самом деле Фортуна хранит много секретов об устройстве реальности, которые, казалось бы, трансцендентны и полностью недоступны человеческому пониманию, но при этом, оставаясь все той же озорной богиней, она постоянно оставляет нам подсказки.

К этой загадке придется подойти издалека. Начнем с объяснения основ термодинамики. Ответьте на вопрос, почему кастрюля холодной воды, поставленная на раскаленную плиту, всегда закипает и не бывает такого чтобы вода в кастрюле застыла. Вроде бы ответ очевиден. Температура воды - это, на самом деле, средняя скорость движения молекул воды, и когда мы придаем молекулам на дне кастрюли больше энергии, то они ускоряются, затем ударяются друг об друга, ускоряя тем самым свои соседей, и вода закипает. Но иногда бывает так, что две молекулы ударяются так, что в итоге останавливают или замедляют друг друга, вместо того чтобы ускорить - это случается намного реже. А вероятность того, что все молекулы воды в стакане будут соударяться таким образом, вообще крайне мала, настолько что стремится к нулю, поэтому мы никогда и не наблюдаем того, что вода может застыть, находясь на раскаленной плите. Но все же вероятность есть, нужно всего лишь больше попыток, чтобы такое случилось. Сколько же кастрюль нам придется вскипятить, чтобы вода в одной них все-таки застыла. Думаю, что заниматься этим придется до самой тепловой смерти вселенной.

Кстати о ней. Именно потому что вода с наибольшей вероятностью закипит находясь на плите, а не застынет, мы с уверенностью можем сказать, что энропия во вселенной растет. Или другими словами, все процессы во вселенной стремятся из состояния порядка в состояние хаоса. Многие ученые считают, что именно это явление связано с самим течением времени. Процессы никогда не происходят в обратном направлении, разбитое не собирается в целое, а рассыпанное в собранное, потому что состояния "целое" и "собранное" – наименее вероятны для вещества. Вещество стремится к своему наиболее вероятному состоянию - состоянию хаоса. Получается, что Фортуна настолько могучая богиня, что она своими вероятностями создает само течение времени. А еще это значит, что вскоре, когда состояние полного хаоса во вселенной будет достигнуто, все процессы остановятся. Само время потеряет смысл, ибо не будет ни того кто сможет его измерить, ни инструментов для его измерения. Наступит, так называемая, тепловая смерть вселенной. По оценкам ученых это произойдет через 10100 лет, когда хаос испарит даже черные дыры. Не останется ничего, даже все частицы распадутся, останется только постоянно остывающее хаотическое излучение.

Но кроме термодинамики есть еще и квантовая физика, которая говорит, что всегда может произойти все что угодно. И в соответствии с законом Мёрфи, если что-то может произойти - оно произойдет, надо всего лишь подождать. А после тепловой смерти вселенной у нас будет целая вечность, чтобы дождаться этого "чего угодно".

А теперь еще одна важная деталь, которую следует знать. Согласно квантовой физике не только местоположение частицы размазано в пространстве, но и само ее существование подвержено законам вероятности. Может произойти так, что где-то в вакууме произойдет энергетическое колебание и буквально из ничего родится частица, а может не одна, а сразу несколько. А может родиться столько частиц, что они образуют собой чемодан с миллионом долларов. Да, действительно, есть вероятность того, что благодаря энергетическим колебаниям вакуума рядом с вами из воздуха появится кейс с деньгами, но вероятность этого события столь мала, что не стоит на это надеяться, особенно учитывая, что вы среднестатистический. Но вот в чем прелесть статистики, когда количество попыток не ограниченно случатся любые, даже самые маловероятные события. На этом и основан закон Мёрфи.

Наглядно это можно объяснить на примере, так называемой, теоремы о вечной обезьяне, которая гласит, что если у вас есть обезьяна, способная жить вечно, и в течении всей этой вечности, заниматься лишь тем, что будет печатать на пишущей машинке, всегда есть вероятность того, что набирая на ней всякую околесицу, она рано или поздно случайно напишет пьесу Шекспира, причем не один раз, а бесконечное количество раз, и не только пьесу Шекспира, а еще и всевозможные произведения любых писателей.

Так вот если в вакууме могут спонтанно рождаться частицы, и мы имеем целую вечность, то рано или поздно возникнет все что угодно. Может и вся наша вселенная спонтанно возникла всего лишь несколько минут назад, когда вы только начали читать эту статью. Возникла вместе со всеми воспоминаниями о вашей жизни, которых на самом деле не было, со свидетельствами Большого взрыва, в результате которого она по идее должна была произойти, но нет... Она просто возникла из ничего в результате маловероятного колебания вакуума. Какова вероятность, что мы живем именно в такой вселенной, а не в той первичной, которая появилась в результате настоящего Большого взрыва, или возможно какого-то иного события (ведь, не забываем, что все свидетельства Большого взрыва, могут быть просто хаотическим совпадением). Учитывая то, что процессы спонтанного возникновения будут происходить вечно, и таких процессов будет неисчислимое количество, а первичная вселенная может быть только одна, а еще, учитывая, то что я среднестатистический... В общем, выводы делайте сами.

Казалось бы, ну какая разница был Большой взрыв или все спонтанно возникло пару минут назад, ведь, в сущности, в нашей текущей реальности это ничего не меняет. И можно оставаться спокойным, не понимая, зачем я вообще приплел сюда солипсизм. Но опять же, исходя из статистики, вероятность того, что спонтанно возникла целая вселенная, неизмеримо меньше вероятности того, что в пустом космосе возник некий объект способный мыслить, при этом полностью изолированный от внешнего мира и придумавший себе собственную реальность, в которой он живет. Такой объект называют Больцмановским мозгом, в честь одного из основателей термодинамики. Ученые даже подсчитали с какой периодичностью будет возникать этот объект, это будет происходить раз в 101050 лет. Это очень-очень-очень-очень-...- очень редкое и маловероятное событие, но наиболее вероятное, чем спонтанное возникновение целой вселенной, в которой произошла эволюция и возникли мылящие существа, которые могут воспринимать окружающую реальность, а не жить в выдуманной ими самими. Ну собственно, если учитывать, что процессы спонтанных возникновений происходят вечно, то Больцмановских мозгов на протяжении этой вечности возникнет неизмеримо больше, чем реальных, мыслящих, и воспринимающих окружающий мир существ. А если читатель все еще помнит главный тезис статьи, о том, что он среднестатистическое мыслящее существо, значит, он является Больцмановским мозгом – неким самодостаточным объектом, плавающим в вакууме, способным мыслить и живущим в придуманной им самим реальности.



[Постскриптум для особо впечатлительных]
На самом деле существует ряд контраргументов способных опровергнуть все эти три страшных аргумента:

1) Контраргумент гипотезы симуляции состоит в том, что в нашем мире слишком много лишнего и сложного. Если созданных компьютерных симуляций очень много, то большинство из них должны быть более простые, чтобы моделировать лишь основное, в частности, например, только людей и среду их обитания, без всего остального космоса и без сложного микромира. Вероятность оказаться в таком простом симулированном мире намного выше, чем в том, котором мы обитаем. Возможно даже, что физически невозможно симулировать всю сложность нашего мира, а значит это доказывает его реальность. Но все же если наш мир является симуляцией, мы не можем знать сложность устройства настоящей реальности, возможно там все еще сложнее, тогда этот контраргумент не опровергает гипотезу симуляции.

2) Контраргумент гипотезы судного дня заключается в том, что мы должны разделять людей живущих сегодня и людей, которые будут жить в далеком будущем. Вполне возможно, что люди будущего будут иными, например, генетически модифицированными с небывалыми для нынешнего человека возможностями разума, можно сказать сверхлюдьми. А это значит, что родиться человеком или родиться сверхчеловеком это не одно и то же, как и не тоже самое, что родиться обезьяной или рыбой. Ведь из тезиса следует, что я не просто среднестатистический, а среднестатистический Человек. Поэтому мы можем так же утверждать, что человечество не вымрет в скором времени, а просто изменится до неузнаваемости, возможно станет более совершенным. Но опять же контраргумент не говорит, что все произойдет именно так. По-прежнему остается факт того, что с человечеством что-то должно произойти, чтобы наше появление именно в эту эпоху было наиболее вероятным. А что это будет: превращение в сверхлюдей или вымирание - мы не знаем...

3) Контраргумент гипотезы Больцмановского мозга так же происходит из квантовой физики. Дело в том, что сам вакуум имеет свойства, он может не только рождать частицы, но и определять свойства этих частиц в зависимости от своего энергетического состояния. Фактически свойства вакуума определяют какими будут законы физики, какие виды частиц смогут в вакууме рождаться и как они будут взаимодействовать между собой. Достоверно известно, что в начале Большого взрыва вакуум менял свои свойства минимум три раза, возможно это произойдет и еще раз в далеком будущем и законы физики снова изменятся, так что возникновение Больцмановских мозгов станет невозможным. Но мы не знаем произойдет ли это наверняка, и не знаем насколько, в случаем чего, изменятся законы физики, возможно даже после этого возникновение Больцмановских мозгов останется возможным... Тогда в распределении вероятности это ничего не меняет, и вероятность что читатель является Больцмановским мозгов по-прежнему остается высокой.

Так или иначе, похоже, что мы точно не знаем, что же на самом деле является истинным, аргументы или котнраргументы. Можно заключить, что есть лишь вероятность того, что верно либо одно, либо другое - а значит мы не особо приблизились к разгадке тайны самой структуры реальности и по-преженму находимся во власти Фортуны, которая умело водит нас за нос.

Треугольник Бытия Пенроуза

Многие встречались с иллюстрациями невозможных предметов, которые чаще всего можно увидеть изображенными на учебниках математики. Но немногие знают автора этих картинок. Их создатель английский физик и математик Роджер Пенроуз обладатель несчетного числа медалей, премий и титулов, внесший неоценимый вклад в развитие физики и математики.

Используя методы непериодического разбиения плоскости, он наглядно показал, как из простейших элементов можно создать великое разнообразие и в чем заключается истинная сила хаоса. Таким образом, он создал так называемую мозаику Пенроуза, позволяющую с помощью двух плиток простейшей формы замостить бесконечную плоскость никогда не повторяющимся узором. Сегодня эта мозаика очень популярна среди декораторов.

Одним из его главных достижений в физике является доказательство того, что черные дыры могут существовать как реальные физические объекты.

Прочих его достижений так же не счесть, и поскольку это не является темой нашего обсуждения, я не буду приводить их здесь все. Остановимся на невозможных объектах. Эти объекты приобрели невероятную популярность, после того как он опубликовал свою статью о них в 1958 году в Британском  журнале психологии. Самыми узнаваемыми являются Лестница Пенроуза и Треугольник Пенроуза. Оба объекта не могут существовать в реальности, но легко могут быть изображены как проекции на двухмерное пространство. При этом двухмерная проекция является полностью согласованной в соответствии с правилами проецирования двухмерных фигур. Например, если произвести геометрический анализ Лестница Пенроуза в стереометрии, то действительно получается, что она образует замкнутую поверхность, по которой можно либо вечно спускаться, либо вечно подниматься.

Треугольник Пенроуза является еще более узнаваемой фигурой, такой, что в ее честь даже воздвигнута 13-метровая скульптура в Австралии.

Естественно данная фигура выполнена по принципу оптической иллюзии, и увидеть Треугольник Пенроуза можно только с одного ракурса.

Этот треугольник затрагивает одну из самых извечных тем в философии: вопрос, где существуют такие невозможные объекты. Первым, кто попытался найти для них обитель был Платон, один из тройки древнегреческих философов связанных узами ученик-учитель, мудрость которых до сих пор оказывает влияние на наш мир. Платон, ученик Сократа, учитель Аристотеля, придумал мир чистой абстракции, место, где обитают все абстрактные вещи и понятия, в том числе и математические конструкции, место за пределами физической вселенной, где не существует времени и пространства.

Эту концепцию принято называть платоновским миром. Там существуют все понятия от простейших типа «стол», «фрукт», «дерево» до сложных наподобие «теоремы Пифагора». Платон утверждал, что только человек имеет доступ к этому миру, он в отличие, от животных глядя на предмет, видит не конкретный предмет, а его абстрактное понятие. Для животного два разных дерева, это два разных предмета, и только человек способен их обобщить понятием «дерево». А где оно существует это абстрактное дерево, которое человек видит у себя в голове, когда представляет это понятие? В качестве ответа на вопрос Платон и предложил этот мир чистой абстракции. Он утверждал, что не человек создает сущности в этом мире, а они существуют в нем изначально, и он лишь может открывать их. Так же как, например, теорема Пифагора была неоднократно открыта в древности независимыми и не знавшими друг о друге людьми.

«Идеи вечны и неизменны, а вещи изменчивы. Они являются их контурами, бледными подобиями или, всего лучше, тенями». Платон.

Концепции Платона частично нашли подтверждение в антропологии. Современные ученые считают, что первые проявления разума у человека появились лишь тогда, когда он научился абстрактно мыслить. Если попросить биолога назвать одно понятие, которое максимально характеризует жизнь, то он вынужден будет назвать: «размножение». Так же и антрополог, в ответ на вопрос какое одно понятие максимально характеризует разум, обязан сказать «абстрактное мышление».

Платон говорил, что человек способен жить в двух мирах одновременно в мире физическом и мире абстрактном. Он связывал эту особенность человека с его внутренним дуализмом, и исходя из этого выводил понятие вечной души, которая в отличии от разложимого тела способна существовать вечно в мире чистой абстракции. Однако мы не будем сильно ударятся в метафизику, и остановимся на этом в изучении идей Платона.

Пенроуз же спустя тысячелетия продолжил изучать идеи Платона о взаимодействии реального и абстрактного мира. Прежде всего, он разделил мир чистых истин Платона на два: на собственно платоновский мир и на мир ментальный. В платоновском мире Пенроуза по-прежнему живут идеальные идеи и концепции, но по-большей части он обращается только к абстрактной математике, которая существует в этом мире, поэтому мы будем называть его Математическим миром. А вот Ментальный мир – это мир, который создается в наших головах. Все что может чувствовать, думать и фантазировать человек находится именно там.

Дальше Пенроуз установил связи между тремя мирами: Математическим, Физическим и Ментальным. Прежде всего он определил, что миры происходят один из другого.

Физический мир подчиняется математическим законам, и по мере того как мы все больше узнаем о нем и заглядываем вглубь материи и пространства, то убеждаемся, что все меньше физического там остается. Самые фундаментальные разделы физики: теория относительности и квантовая механика оперируют настолько абстрактными математическими понятиями, что нам кажется, что сама реальность материи, пространства и времени в них растворяется в этой самой математике. Большой взрыв, от которого произошла наша вселенная, и вовсе содержал в себе такие энергии, что обе эти теории при его описании вообще вырождаются в чистую математику, оперирующую бесконечными значениями. Следовательно, физический мир происходит из мира математики.

Происхождение ментального мира из мира физического и вовсе кажется очевидным. Человек это физическое тело, состоящее из материи и существующее в пространстве и времени. Человек произошел на планете, которая сформировалась в космосе из пепла сгоревших звезд, которые в свою очередь зародились из газа, созданного в Большом взрыве. Но человек может думать и создавать свой собственный ментальный мир. Более того, физические условия, внешние воздействия, а так же внутренние биохимические процессы продолжают влиять на ментальный мир человека на протяжении всей его жизни.

Ну а о происхождении математического мира из мира ментального мы уже и так достаточно поговорили. Лучше привести известное выражение: «Человек это способ вселенной думать о самой себе». Здесь хочется обратить внимание на основное отличие Пенроуза от Платона. По Пенроузу математический мир именно происходит из мира ментального, а не существует независимо от него. Да, человек открывает математические теоремы, а не придумывает их. И если бы не было человека, то математические законы физики все равно бы работали, но никто не смог бы их сформулировать, никто не смог бы понять абстракцию этих законов. Математика не может существовать без того, кто ее формулирует.

Очень символично, что изображение происхождения и взаимодействия трех миров нашего бытия по Пенроузу так напоминает невозможный треугольник этого же автора.

Приглядевшись к Треугольнику Бытия повнимательней, можно заметить еще одну важную особенность, на которую указывает сам Пенроуз. Каждый из миров происходит из малой части предыдущего. И это действительно так.

В математике существует огромное количество концепций, уравнений и формул, но только часть из них воплощена в физическом мире. В основе нашего мира как считают многие физики лежит некая основополагающая система уравнений, которая пока правда не найдена. На сегодняшний день мы имеет квантовую механику со своими формулами и теорию относительности со своими, при чем часть этих формул противоречат друг другу. Однако физики верят, что наступит день, когда они смогут описать квантовую природу гравитации, и тогда они сделают из этих двух теорий одну единую, формулы которой перестанут противоречить друг другу, и тогда можно будет объявить, что математическое происхождение нашего мира полностью доказано. Но вот, что интересно… Можно ведь напридумовать множество других формул, которые так же не будут противоречить друг другу, но при этом не будут описывать нашу вселенную. Вопрос, какие вселенные тогда они будут описывать? Ответ: те, которые не существуют в реальности, но их абстракция есть в мире Математики. Большая часть этих формул порождает мертвые вселенные, нежизнеспособные, которые просуществуют меньше мгновения, или в которых не будет даже материи. Но, тем не менее, раз формулы существуют, то в этой же абстракции существуют и потенциальные возможности существования этих вселенных. Поэтому математический мир намного больше физического и происхождение последнего является лишь его малой частью.

То, что мир ментальный происходит из малой части мира физического так же очевидно. Это становится особенно очевидно, когда ночью смотришь в звездное небо и представляешь, как ничтожен человек в масштабах вселенной. Физический мир воплощает разнообразные формы материи, большинство из которых мертвы (так же как и мертвы вселенные создаваемые другими законами природы). Но, так или иначе, человек лишь крохотная часть из их разнообразия.

Так же и ментальный мир человека намного шире мира математики. Ведь, признаться, мы не так уж и часто думаем о математике. Нас обычно заботят другие вещи, и наши думы направлены зачастую никак не на изучение теорем. Мы думаем о любви, о выживании, о развлечении, о духовности. Нас интересуют культура, политика, экономика, искусство. Мы способны создавать собственные виртуальные миры, писать книги, придумывать суеверия, эзотерику или даже собственную религию. Мы можем жить в иллюзиях и заблуждениях, касательно собственной жизни и окружающего мира. Все это существует в нашем ментальном мире. Там существуют даже неправильные математики, где два плюс два равно пяти, или где число пи будет равно ровно четырем. Конечно, эти математики будут нежизнеспособны и не смогут описать наш физический мир, так же как неживая материя физического мира неспособна породить разум, так же как большинство математических формул создающих вселенные неспособные породить материю, но они существуют, по меньшей мере, в головах миллионов двоечников по всему миру.

Еще важно отметить, что само происхождение одного мира из другого по Пенроузу является непознаваемым, это трансцендентность в чистом виде. То есть по определению невозможно понять, как мир математики порождает мир физический, а тот в свою очередь порождает мир ментальный (или почему мы можем создавать свои собственные миры), и откуда в наших головах возникает логическая согласованная математика.

На этом можно было бы и закончить, но в качестве послесловия я хотел бы добавить к этому несколько своих умозаключений. Пенроуз кончено в своих размышлениях ушел намного дальше Платона. Но все же он ничего не говорит про обратную связь миров. А ведь, на самом деле, в этих мирах можно проследить не только признаки их происхождения друг из друга, но и то, как они вырождаются обратно.

Примером вырождения мира физического обратно в мир математики может служить черная дыра. Материя, пространство и время внутри черной дыры испытывают такие экстремальные условия, что все физическое внутри черной дыры превращается обратно в чистую математику, оперирующую бесконечными величинами.

Так же можно найти следы вырождения логически согласованной математики обратно в ментальный мир нелогичных суждений. Примером являются парадоксы, которыми изобилует математика, начиная со всем известного с уроков арифметики деления на ноль и заканчивая парадоксами теории множеств, такими как: парадокс Рассела, парадокс Лжеца, парадокс континуум-гипотезы. Парадокс ломает логику и заставляет нас задуматься над правильностью наших логических построений, он выталкивает нас из мира математики обратно в мир ментальный, где есть только домыслы, фантазии и предположения. Вообще, кстати, теория множеств, самая фундаментальная отрасль в математике (так же как теория относительности и квантовая механика в физике), изобилует парадоксами, и это неспроста. Математик Курт Гедель доказал так называемую Теорему о Неполноте, согласно которой любое полностью законченное замкнутое построение в математике должно содержать парадокс. Что значит замкнутое математическое построение? Когда мы что-то решаем, доказываем или выводим в математике, мы отталкиваемся от каких-то аксиом. Аксиомы – это утверждения, принимаемые без доказательств – то есть их нужно просто принять такими, какие они есть и жить с этим. Но как только мы пытаемся построить замкнутое математическое построение, в котором нет необъяснимых аксиом (или в котором аксиомы сами себя объясняют), то мы обязательно столкнемся с парадоксом, а значит, мы обязательно вывалимся из мира строгой логики в ментальный мир. Об этом и говорит Геделевская теорема о неполноте.

Давайте же попробуем понять, как в итоге должен выглядеть это треугольник Бытия. Итак:

Математический мир трансцендентально происходит из малой части ментального мира и может обратно в него вырождаться.
Физический мир трансцендентально происходит из малой части математического мира и может обратно в него вырождаться.
Ментальный мир трансцендентально происходит из малой части физического мира и может обратно в него вырождаться.

Обратите внимание о самых последних словах мы с вами ничего не говорили, но они так и просятся внутрь этой схемы, это слова о том, что «Ментальный мир тоже может вырождаться обратно в мир физический». Ведь если в мире физическом черные дыры способны обращать физику обратно в математику, если парадоксы в мире математики способны обращать строгую формальную логику обратно в ментальные домыслы, то должно существовать и нечто в мире ментальном, что воплотит его проявления в реальности. Нечто, что сделает наши ментальные образы физическими, а вымышленное – реальным. Да, конечно, человек способен воплощать свои идеи в жизнь, но только если эти идеи возможны. Однако ментальный мир намного шире, и там есть невероятные и невозможные вещи, получается и они, исходя из представленной выше схемы, должны иметь возможность как-то воплощаться в реальности.

Занимательная Гугология, постскриптум.

Дисклеймер: Эта часть является приложением к циклу статей по гугологии, куда я включил то, что по тем или иным причинам не попало в основное повествование. Основные статьи цикла можно найти по ссылкам: первая часть, вторая часть, третья часть, четвертая часть, пятая часть, шестая часть.
1

Сначала мне бы хотелось отметить, что гугология не стоит на месте. Даже сегодня где-то и кто-то придумывает новые нотации и функции для записи сверхбольших чисел. Для чего и зачем - не нам судить. Все доводы о том, какая существует польза от гугологии я изложил в самом цикле и здесь я не буду касаться этих вопросов. Можно относится к этому как к вечной забаве или как тяге к недостижимому, к тому что больше вселенной, к тому что может обитать лишь в мире чистой абстракции.

В 2016 году на сайте stepstowardinfinity.wordpress.com пользователем под ником hypcos было разработано новое расширение массивной нотации Берда, которую он назвал Сниженная массивная нотация (dropper array notation). Она обгоняет нотацию Берда и даже способна на бо́льшее, а именно, описывать рекурсивно-достижимые числа, бо́льшие чем создаются функцией быстрорастущей иерархии от Ординала Ратчена.

Для начала давайте ее сопоставим с самым последним расширением Берда, с Вложенной иерархической гипервложенной массивной нотацией:

fε0(n) > {n,n(1(1/22)2)2} = {n,n(1,,2)2}
fθ(εΩ)(n) > {n,n(1(1/23)2)2} = {n,n(1,,3)2}
fθ(εΩ+1)(n) > {n,n(1(1/24)2)2} = {n,n(1,,4)2}
fθ(εΩ+2)(n) > {n,n(1(1/25)2)2} = {n,n(1,,5)2}
fθ(Ωω)(n) > {n,n(1(2/1,22)2)2} = {n,n(1,,1,2)2}
fθ(Ωω⋅2)(n) > {n,n(1(1(2/1,32)2)2)2} = {n,n(1,,1,3)2}
fθ(Ωω⋅3)(n) > {n,n(1(1(1(2/1,42)2)2)2)2} = {n,n(1,,1,4)2}
fθ(Ωω2)(n) > {n,n(1(2/1,1,22)2)2} = {n,n(1,,1,1,2)2}
fθ(Ωε0)(n) > {n,n(1(2/1(1/2)22)2)2} = {n,n(1,,1(1(1,,2)2)2)2}
fθ(Ωθ(Ωω))(n) > {n,n(1(2/1(1(2/1,22)2)22)2)2} = {n,n(1,,1(1(1,,1,2)2)2)2}
fθ(Ωθ(Ωθ(Ωω)))(n) > {n,n(1(2/1(1(2/1(1(2/1,22)2)22)2)22)2)2} = {n,n(1,,1(1(1,,1(1(1,,1,2)2)2)2)2)2}
fθ(Ωθ(Ωθ(Ωθ(Ωω))))(n) > {n,n(1(2/1(1(2/1(1(2/1(1(2/1,22)2)22)2)22)2)22)2)2} = {n,n(1,,1(1(1,,1(1(1,,1(1(1,,1,2)2)2)2)2)2)2)2}

И на масштабе fθ(ΩΩ)(n), когда Вложенная иерархическая гипервложенная массивная нотация достигает своего предела Сниженная массивная нотация обходит ее.

fθ(ΩΩ)(n) > {n,n(1,,1(1,,2)2)2}
fθ(ΩΩ+1)(n) > {n,n(1,,2(1,,2)2)2}
fθ(ΩΩ⋅2)(n) > {n,n(1,,1(1,,2)3)2}
fθ(ΩΩ2)(n) > {n,n(1,,1(1,,2)1(1,,2)2)2}
fθ(ΩΩΩ)(n) > {n,n(1,,1(1(1,,2)2,,2)2)2}
fθ(ΩΩΩΩ)(n) > {n,n(1,,1(1(1,,2)1(1,,2)2,,2)2)2}
fθ(ΩεΩ)(n) > {n,n(1,,1(1(1,,3)2,,2)2)2}
fθ(ΩΩ2)(n) > {n,n(1,,1(1,,3)2)2}
fθ(ΩΩ3)(n) > {n,n(1,,1(1,,4)2)2}
fθ(ΩΩω)(n) > {n,n(1,,1(1,,1,2)2)2}
fθ(ΩΩω+1)(n) > {n,n(1,,1(1,,2,2)2)2}
fθ(ΩΩω⋅2)(n) > {n,n(1,,1(1,,1,3)2)2}
fθ(ΩΩΩ)(n) > {n,n(1,,1(1,,1(1,,2)2)2)2}
fθ(ΩΩΩΩ)(n) > {n,n(1,,1(1,,1(1,,1(1,,2)2)2)2)2}
fθ(α↦Ωα)(n) > {n,n(1,,1(1,,1,,2)2)2}

На этом моменте мы достигли функции быстрорастущей иерархии взятой от Ординала Ратчена, на котором заканчиваются возможности обычной коллапсирующей ординальной функции. Следующим шагом в Сниженной массивной нотации будет такая запись {n,n(1,,1(2,,1,,2)2)2} - как же нам понять скорость ее роста?

Многие могут вспомнить, что в третьей части я говорил, что Ординал Ратчена не самый большой из рекурсивно-достижимых, и что мы можем ввести новую коллапсирующую ордианльную функцию предложенную самим Ратченом θω( ), которая будет превращать несчетные кардиналы в несчетные ординалы, а те в свою очередь коллапсировать в счетные. Что ж, давайте попробуем ввести такую функцию и подставить создаваемые ей ординалы в функцию быстрорастущей иерархии. И сейчас вы наглядно убедитесь, что уровень рекурсий заложенный в Сниженной массивной нотации на порядок сильнее.

Итак, начнем наше сопоставление:
fθ(Ω)(n) = fθω(ℵ0[3]ℵ0)(n)
fθ(Ω2)(n) = fθω(ℵ0[4]3)(n)
fθ(Ω3)(n) = fθω(ℵ0[4]4)(n)
fθ(Ωω)(n) = fθω(ℵ0[4]ℵ0)(n) > {n,n(1,,1,2)2}
fθ(ΩΩω)(n) = fθω(ℵ0[5]3)(n) > {n,n(1,,1(1,,1,2)2)2}
fθ(ΩΩΩω)(n) = fθω(ℵ0[5]4)(n) > {n,n(1,,1(1,,1(1,,1,2)2)2)2}
fθ(ΩΩΩΩ...)(n) = fθω(ℵ0[5]ℵ0)(n) > {n,n(1,,1(1,,1,,2)2)2}

А теперь зададимся вопросом:
f???(n) > {n,n(1,,1(2,,1,,2)2)2}
Какой ординал мы должны получить с помощью нашей новой ординальной коллапсирующей функции, чтобы он превзошел по уровню рекурсии эту запись в Сниженной массивной нотации?

Давайте я покажу насколько большой путь нам придется пройти от {n,n(1,,1(1,,1,,2)2)2} до {n,n(1,,1(2,,1,,2)2)2}

Запишем θ(ΩΩΩΩ...), где число вложений индексов Ω равно ω - так: θ(ΩΩΩΩ...) =  α0
Тогда θ(ΩΩΩΩ...), где число вложений индексов Ω равно α0 = θ(ΩΩΩΩ...) будет α1
Ну а дальше:
α2 = θ(ΩΩΩΩ...), где число вложений индексов Ω равно α1
α3 = θ(ΩΩΩΩ...), где число вложений индексов Ω равно α2

Теперь сопоставим все это с нашей новой ординальной коллапсирующей функцией θω( )
θ(α↦Ωα) = θ(ΩΩΩΩ...) =  α0 = θω(ℵ0[5]ℵ0)
α1 = θω(ℵ0[6]3)
α2 = θω(ℵ0[6]4)
α3 = θω(ℵ0[6]5)
αω ω(ℵ0[6]ℵ0)

После чего пойдут:
αω+1
αωω
αω[ω]ω
αsuperhyper(ω,ω,ω,ω) = αθ(Ω)
αθ(ΩΩ)
αθ(ΩΩ)
и так до:
αθ(α↦Ωα) = αα0

Затем:
ααα0
αααα0
пока не получится:
αααα..., где число вложений индексов α равно ω

После чего вводим новую букву:
αααα... = β↦αβ = β0
и так далее...

Cопоставим все наши построения с θω( )
α0 = θω(ℵ0[5]ℵ0)
αω ω(ℵ0[6]ℵ0)
β0 = θω(ℵ0[7]ℵ0)
βω ω(ℵ0[8]ℵ0)
и т.д. пока не достигнем:
θω(ℵ0[ω]ℵ0)

Далее я предлагаю сосредоточится только на θω( )
θω(ℵ0[ω[ω]ω]ℵ0)
θω(ℵ0[ω[ω[ω]ω]ω]ℵ0)
θω(ℵ0[...[ω[ω[ω]ω]ω]...]ℵ0) = θω(ℵ00]ℵ0) = θω(ℵ0[θ(Ω)]ℵ0)
θω(ℵ0[θ(ΩΩ)]ℵ0)
θω(ℵ0[θ(Ω2)]ℵ0)
θω(ℵ0[θ(ΩΩ)]ℵ0)
θω(ℵ0[θ(ΩΩΩ)]ℵ0)
θω(ℵ0[θ(α↦Ωα)]ℵ0) = θω(ℵ00]ℵ0)

Затем начинаются вложения функции внутрь самой функции:
θω(ℵ0ω(ℵ00]ℵ0)]ℵ0)
θω(ℵ0ω(ℵ0ω(ℵ00]ℵ0)]ℵ0)]ℵ0)
Пока:
θω(ℵ0ω(ℵ0ω(ℵ0ω(ℵ0[...]ℵ0)]ℵ0)]ℵ0)]ℵ0)

И этот ординал будет пределом нашей новой ординальной коллапсиурющей функции θω( ), так же как Ординал Ратчена является пределом обычной ординальной коллапсиурющей функции θ( ). Так вот если мы возьмем функцию быстрорастущей иерархии от этого ординала, то только тогда:

fθω(ℵ0ω(ℵ0ω(ℵ0ω(ℵ0[...]ℵ0)]ℵ0)]ℵ0)]ℵ0)(n) > {n,n(1,,1(2,,1,,2)2)2}

Но при этом, уже:

fθω(ℵ0ω(ℵ0ω(ℵ0ω(ℵ0[...]ℵ0)]ℵ0)]ℵ0)]ℵ0)(n) < {n,n(1,,1(3,,1,,2)2)2}

Теперь становится понятно, что для того чтобы как-то сравнивать дальнейший масштаб создаваемый Сниженной массивной нотацией, нам уже не хватит даже нашей новой ординальной коллапсиурющей функции θω( ). Поэтому здесь я просто приведу дальнейшие возможности этой нотации, где каждый пример невероятно больше чем fθ(α↦Ωα)(n).

{n,n(1,,1(2,,1,,2)2)2}
{n,n(1,,1(3,,1,,2)2)2}
{n,n(1,,1(1,,2,,2)2)2}
{n,n(1,,1(1,,3,,2)2)2}
{n,n(1,,1(1,,1,,3)2)2}
{n,n(1,,1(1,,1,,1,,2)2)2}
{n,n(1,,1(1,,1,,1,,1,,2)2)2}
{n,n(1,,1(1,,,2)2)2}
{n,n(1,,1(1,,,3)2)2}
{n,n(1,,1(1,,,1,2)2)2}
{n,n(1,,1(1,,,1,,2)2)2}
{n,n(1,,1(1,,,1,,,2)2)2}
{n,n(1,,1(1,,,1,,,1,,,2)2)2}
{n,n(1,,1(1,,,,2)2)2}
{n,n(1,,1(1,,,,,2)2)2}

Наконец {n,n(1,,1(1,,,...,,,2)2)2} - где n запятых - это предел Сниженной массивной нотации. Но другим последующим расширениям массивной нотации предела нет. На этом же сайте stepstowardinfinity.wordpress.com приводятся попытки создать некоторые еще более сильные расширения. Здесь я не буду их приводить, поскольку мы уже не имеем возможности сравнивать их с функциями бысторастущей иерархии (для которых уже не хватает придуманных ординалов). Стоит правда оговориться, что существует еще более мощная нотация для записи ординалов, называемая Нотацией Тарановского, ее пределы до сих пор не изучены и автор Сниженной массивной нотации на своем сайте пытается сопоставить ее со своими нотациями. Однако Нотация Тарановского из-за своей невероятной рекурсивной мощности напрочь лишена всякой наглядности и понять уровень рекурсии по ней очень сложно, поэтому я не буду приводить ее здесь.

Однако вот что самое интересное, сами трансфинитные ординалы можно определять через массивную нотацию и таким образом добиться записи ординала бо́льшего чем Ординал Ратчена.

Поэтому сейчас давайте и рассмотрим как массивную нотацию можно использовать для выражения сверхбольших трансфинитных ординалов. Так, чтобы не нужно было бы прибегать к канторовой нотации ε, ζ, η, Г или нотации Веблена φ( ) или коллапсирующей ординальной функции θ( ). Вот так выглядит выражение сверхбольших трансфинтиных ординалов в массивной нотации взятой от ω.

ε0= φ(1, 0) = {ω,ω,2}
ζ0= φ(2, 0) = {ω,ω,3}
η0= φ(3, 0) = {ω,ω,4}
φ(ω, 0) = {ω,ω,ω}
θ(Ω) = Г0 = φ(1, 0, 0) = {ω,ω,1,2}
θ(Ω2) = φ(1, 0, 0, 0) = {ω,ω,1,1,2}
θ(Ω3) = φ(1, 0, 0, 0, 0) = {ω,ω,1,1,1,2}
θ(Ωω) = φ(1, 0, 0, 0, ...) = {ω,ω(2)2}
θ(Ωωω) = {ω,ω(1,2)2}
θ(Ωωω2) = {ω,ω(1,1,2)2}
θ(Ωωωω) = {ω,ω(1(2)2)2}
θ(Ωωωωω) = {ω,ω(1(1,2)2)2}
θ(Ωε0) = θ(Ωφ(1, 0)) = {ω,ω(1(1\2)2)2}
θ(Ωζ0) = θ(Ωφ(2, 0)) = {ω,ω(1(1\1\2)2)2}
θ(Ωη0) = θ(Ωφ(3, 0)) = {ω,ω(1(1\1\1\2)2)2}
θ(Ωφ(ω, 0)) = {ω,ω(1(2¬2)2)2}
θ(Ωθ(Ω)) = θ(ΩГ0) = θ(Ωφ(1, 0, 0)) = {ω,ω(1(1¬3)2)2}
θ(Ωθ(Ωθ(Ω))) = {ω,ω(1(1¬1(1¬3)2)2)2}
θ(ΩΩ) = {ω,ω(1(1¬1¬2)2)2}
θ(ΩΩΩ) = {ω,ω(1(1(1/2/22)2/22)2)2}
θ(εΩ) = {ω,ω(1(1/23)2)2}
θ(ζΩ) = {ω,ω(1(1/21/22)2)2}
θ(ηΩ) = {ω,ω(1(1/21/21/22)2)2}
θ(ГΩ) = {ω,ω(1(1(1/22/32)2)2)2}
θ(Ω3) = {ω,ω(1(1(1(1/32/42)2)2)2)2}
θ(Ωω) = {ω,ω(1(2/1,22)2)2}
θ(Ωω2) = {ω,ω(1(2/1,1,22)2)2}
θ(Ωωω) = {ω,ω(1(2/1(2)22)2)2}
θ(Ωωωω) = {ω,ω(1(2/1(1,2)22)2)2}
θ(Ωε0) = {ω,ω(1,,1(1(1,,2)2)2)2}
θ(Ωθ(Ωω)) = {ω,ω(1,,1(1(1,,1,2)2)2)2}
θ(Ωθ(Ωθ(Ωω))) = {ω,ω(1,,1(1(1,,1(1(1,,1,2)2)2)2)2)2}
θ(Ωθ(Ωθ(Ωθ(Ωω)))) = {ω,ω(1,,1(1(1,,1(1(1,,1(1(1,,1,2)2)2)2)2)2)2)2}
θ(ΩΩ) = {ω,ω(1,,1(1,,2)2)2}
θ(ΩΩ+1) = {ω,ω(1,,2(1,,2)2)2}
θ(ΩΩ⋅2) = {ω,ω(1,,1(1,,2)3)2}
θ(ΩΩ2) = {ω,ω(1,,1(1,,2)1(1,,2)2)2}
θ(ΩΩΩ) = {ω,ω(1,,1(1(1,,2)2,,2)2)2}
θ(ΩΩΩΩ) = {ω,ωn(1,,1(1(1,,2)1(1,,2)2,,2)2)2}
θ(ΩεΩ) = {ω,ω(1,,1(1(1,,3)2,,2)2)2}
θ(ΩΩ2) = {ω,ω(1,,1(1,,3)2)2}
θ(ΩΩ3) = {ω,ω(1,,1(1,,4)2)2}
θ(ΩΩω) = {ω,ω(1,,1(1,,1,2)2)2}
θ(ΩΩω+1) = {ω,ω(1,,1(1,,2,2)2)2}
θ(ΩΩω⋅2) = {ω,ω(1,,1(1,,1,3)2)2}
θ(ΩΩΩ) = {ω,ω(1,,1(1,,1(1,,2)2)2)2}
θ(ΩΩΩΩ) = {ω,ω(1,,1(1,,1(1,,1(1,,2)2)2)2)2}
θ(α↦Ωα) = {ω,ω(1,,1(1,,1,,2)2)2}

Вот на этом моменте расширение массивной нотации в виде Сниженной массивной нотации позволяет нам записать трансфинитные ординалы бо́льшие, чем Ординал Ратчена.

{ω,ω(1,,1(2,,1,,2)2)2}
{ω,ω(1,,1(3,,1,,2)2)2}
{ω,ω(1,,1(1,,2,,2)2)2}
{ω,ω(1,,1(1,,3,,2)2)2}
{ω,ω(1,,1(1,,1,,3)2)2}
{ω,ω(1,,1(1,,1,,1,,2)2)2}
{ω,ω(1,,1(1,,1,,1,,1,,2)2)2}
{ω,ω(1,,1(1,,,2)2)2}
{ω,ω(1,,1(1,,,3)2)2}
{ω,ω(1,,1(1,,,1,2)2)2}
{ω,ω(1,,1(1,,,1,,2)2)2}
{ω,ω(1,,1(1,,,1,,,2)2)2}
{ω,ω(1,,1(1,,,1,,,1,,,2)2)2}
{ω,ω(1,,1(1,,,,2)2)2}
{ω,ω(1,,1(1,,,,,2)2)2}
{ω,ω(1,,1(1,,,...,,,2)2)2}

Еще одна интересная вещь заключается в том, что мы можем попытаться применить эти выражения к ℵ0 внутри нашей новой ориднальной коллапсирующей функции θω( ). Но и это нам ничего не даст, мы увидим, лишь как сходятся и замыкаются рекурсии, и в сущности никакого ощутимого сравнения так и не получим. Например:
{ω,ω(1,,1(2,,1,,2)2)2} = θω({ℵ0,ℵ0(1,,1(2,,1,,2)2)2})
{ω,ω(1,,1(3,,1,,2)2)2} = θω({ℵ0,ℵ0(1,,1(3,,1,,2)2)2})
и т.д.

Хотя еще:
{ω,ω(1,,1(1,,1,,2)2)2} < θω(ℵ0[6]ℵ0) < θω({ℵ0,ℵ0(1,,1(1,,1,,2)2)2}) < {ω,ω(1,,1(2,,1,,2)2)2}
При том, что:
θω({ℵ0,ℵ0(1,,1(1,,1,,2)2)2}) = θω(ℵ0[θ(α↦Ωα)]ℵ0)
θω({ℵ0,ℵ0(1,,1(2,,1,,2)2)2}) = θω(ℵ0ω(ℵ0ω(ℵ0ω(ℵ0[...]ℵ0)]ℵ0)]ℵ0)]ℵ0)

Соответственно мы так же можем переписать все функции быстрорастущей иерархии, выраженные через массивную нотацию от ω.

f{ω,ω,2}(n) > {n,n(1\2)2}
f{ω,ω,3}(n) > {n,n(1\1\2)2}
f{ω,ω,4}(n) > {n,n(1\1\1\2)2}
f{ω,ω,ω}(n) > {n,n(1(2¬2)2)2}
f{ω,ω,1,2}(n) > {n,n(1(1¬3)2)2}
f{ω,ω,1,1,2}(n) > {n,n(1(1¬4)2)2}
f{ω,ω,1,1,1,2}(n) > {n,n(1(1¬5)2)2}
f{ω,ω(2)2}(n) > {n,n(1(1¬1,2)2)2}
f{ω,ω(1,2)2}(n) > {n,n(1(1¬1(2)2)2)2}
f{ω,ω(1,1,2)2}(n) > {n,n(1(1¬1(3)2)2)2}
f{ω,ω(1(2)2)2}(n) > {n,n(1(1¬1(1,2)2)2)2}
f{ω,ω(1(1,2)2)2}(n) > {n,n(1(1¬1(1(2)2)2)2)2}
f{ω,ω(1(1\2)2)2}(n) > {n,n(1(1¬1\2)2)2}
f{ω,ω(1(1\1\2)2)2}(n) > {n,n(1(1¬1\1\2)2)2}
f{ω,ω(1(1\1\1\2)2)2}(n) > {n,n(1(1¬1\1\1\2)2)2}
f{ω,ω(1(2¬2)2)2}(n) > {n,n(1(1¬1(2¬2)2)2)2}
f{ω,ω(1(1¬3)2)2}(n) > {n,n(1(1¬1(1¬3)2)2)2}
f{ω,ω(1(1¬1(1¬3)2)2)2}(n) > {n,n(1(1¬1(1¬1(1¬3)2)2)2)2}

Обратите внимание, что начиная с Большого ординала Веблена θ(ΩΩ) сходятся рекурсии в выражении ординалов через массивную нотацию и рекурсии функций быстрорастущей иерархии:

f{ω,ω(1(1¬1¬2)2)2}(n) > {n,n(1(1¬1¬2)2)2}
f{ω,ω(1(1(1/2/22)2/22)2)2}(n) > {n,n(1(1(1/2/22)2/22)2)2}
f{ω,ω(1(1/23)2)2}(n) > {n,n(1(1/23)2)2}
f{ω,ω(1(1/21/22)2)2}(n) > {n,n(1(1/21/22)2)2}
f{ω,ω(1(1/21/21/22)2)2}(n) > {n,n(1(1/21/21/22)2)2}
f{ω,ω(1(1(1/22/32)2)2)2}(n) > {n,n(1(1(1/22/32)2)2)2}
f{ω,ω(1(1(1(1/32/42)2)2)2)2}(n) > {n,n(1(1(1(1/32/42)2)2)2)2}
f{ω,ω(1(2/1,22)2)2}(n) > {n,n(1(2/1,22)2)2}
f{ω,ω(1(2/1,1,22)2)2}(n) > {n,n(1(2/1,1,22)2)2}
f{ω,ω(1(2/1(2)22)2)2}(n) > {n,n(1(2/1(2)22)2)2}
f{ω,ω(1(2/1(1,2)22)2)2}(n) > {n,n(1(2/1(1,2)22)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1(1,,2)2)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1(1,,2)2)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1(1,,1,2)2)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1(1,,1,2)2)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1(1,,1(1(1,,1,2)2)2)2)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1(1,,1(1(1,,1,2)2)2)2)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1(1,,1(1(1,,1(1(1,,1,2)2)2)2)2)2)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1(1,,1(1(1,,1(1(1,,1,2)2)2)2)2)2)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1,,2)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1,,2)2)2}
f{ω,ω(1,,2(1,,2)2)2}(n) > {n,n(1,,2(1,,2)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1,,2)3)2}(n) > {n,n(1,,1(1,,2)3)2}
f{ω,ω(1,,1(1,,2)1(1,,2)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1,,2)1(1,,2)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1(1,,2)2,,2)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1(1,,2)2,,2)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1(1,,2)1(1,,2)2,,2)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1(1,,2)1(1,,2)2,,2)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1(1,,3)2,,2)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1(1,,3)2,,2)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1,,3)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1,,3)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1,,4)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1,,4)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1,,1,2)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1,,1,2)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1,,2,2)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1,,2,2)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1,,1,3)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1,,1,3)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1,,1(1,,2)2)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1,,1(1,,2)2)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1,,1(1,,1(1,,2)2)2)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1,,1(1,,1(1,,2)2)2)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1,,1,,2)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1,,1,,2)2)2}

Получает, что теперь, используя массивную нотацию для выражения трансфинитных ординалов, мы можем записывать функции быстрорастущей иерархии, взятые от ординалов бо́льших, чем Ординал Ратчена. Но поскольку уровень рекурсии в функциях быстрорастущей иерархии взятых от оридналов в массивной нотации на таких масштабах почти совпадает с уровнем рекурсий самой этой нотации, то такое сопоставление так же ничего не расскажет нам об уровне роста последующих возможных расширений массивной нотации.

f{ω,ω(1,,1(2,,1,,2)2)2}(n) > {n,n(1,,1(2,,1,,2)2)2}
f{ω,ω(1,,1(3,,1,,2)2)2}(n) > {n,n(1,,1(3,,1,,2)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1,,2,,2)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1,,2,,2)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1,,3,,2)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1,,3,,2)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1,,1,,3)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1,,1,,3)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1,,1,,1,,2)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1,,1,,1,,2)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1,,1,,1,,1,,2)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1,,1,,1,,1,,2)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1,,,2)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1,,,2)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1,,,3)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1,,,3)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1,,,1,2)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1,,,1,2)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1,,,1,,2)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1,,,1,,2)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1,,,1,,,2)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1,,,1,,,2)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1,,,1,,,1,,,2)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1,,,1,,,1,,,2)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1,,,,2)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1,,,,2)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1,,,,,2)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1,,,,,2)2)2}
f{ω,ω(1,,1(1,,,...,,,2)2)2}(n) > {n,n(1,,1(1,,,...,,,2)2)2}

Здесь вероятно и следует поставить многозначительное "и т.д.", и еще раз заключить, что рекурсиям нет предела.

Занимательная Гугология, часть 6. Можно ли вычислить невычислимое?

Дисклеймер: Это заключительная статья в цикле. Весь цикл можно найти по ссылкам: первая часть, вторая часть, третья часть, четвертая часть, пятая часть.
1

В предыдущей части мы выяснили, что могут существовать числа, которые будут больше чем любые рекурсивно достижимые, которые мы выражали через сверхсильные нотации или функции быстрорастущей иерархии. Такие числа должны быть невычислимыми, так же как и функции, которые создают эти числа.

Невычислимой называется такая функция, которая после некоторых значений подставляемых в нее, не может выдать результат, поскольку процесс вычисления становится бесконечным. Однако, что самое главное, результат при этом должен быть конечным.

Математики установили, что скорость роста любой невычислимой функции (UnComputable Function) при постоянном увеличении ее аргументов в конце-концов становится:

UCF(n) > fωCK(n)

Надеюсь вы еще помните такой ординал по третьей части цикла. Если нет, напомню, ωCK это такой ординал, который идет после всех рекурсивно достижимых ординалов. Собственно это и доказывает, что невычислимые функции в конечном итоге способны создать самые большие числа, вот только масштаб этих чисел понять уже совершенно невозможно.

Здесь, как я и обещал в предыдущей части, сделаю еще одно важное наблюдение, которое призвано убедить вас как в гугологии все взаимосвязано. Сравните его с первым наблюдением.

Взаимосвязь №2
Кардиналы обозначают количественную бесконечность. Ординалы обозначают порядковую бесконечность. Среди кардиналов существуют недостижимые, которые будут больше любых рекурсивно созданных кардиналов. Каждому недостижимому кардиналу соответствует недостижимый несчетный ординал. Коллапсирующая ординальная функция из недостижимых несчетных ординалов создает рекурсивно недостижимые счетные ординалы. Функция быстрорастущей иерархии из недостижимых счетных ординалов создает конечные невычислимые числа.

недостижимые кардиналы > достижимые кардиналы
недостижимые несчетные ординалы > достижимые несчетные ординалы
недостижимые счетные ординалы > достижимые счетные ординалы
конечные невычислимые числа > конечные вычислимые числа

Самая известная невычислимая функция происходит из информатики и называется Задачей об усердном бобре. Такое странное название происходит из попытки доступно объяснить ее, где в качестве примера берется бобер, который сажает деревья. Однако я не буду приводить такое толкование, поскольку оно все равно слишком запутанное, я лишь в общих чертах опишу задачу, так как она ставится в информатике.

Итак, у нас есть бесконечная по длине и по ширине магнитная лента, над которой опущена пишущая головка. На каждом шаге головка имеет два параметра: состояние и бит под головкой (1 или 0). Исходя из этого, решается, куда сдвигается головка (влево или вправо), какой она пишет бит, и в какое переходит состояние. Вам наверное, не совсем понятно, что значит состояние пишущей головки. А вот это и есть главная фишка задачи: состояния задаются произвольно и количество состояний (n) тоже произвольно, но всегда отдельно идет состояние "конец программы", которое в общее число состояний не входит.

Вот такие, например, условия задачи для трех состояний:

"Нормальное" состояние (начальное):
1. Если под головкой 0, пишем 1 и сдвигаемся вправо, переходим в состояние "обеспокоенное".
2. Если под головкой 1, сдвигаемся влево и переходим в состояние "легкомысленное".

"Обеспокоенное" состояние:
1. Если под головкой 0, пишем 1 и сдвигаемся влево, переходим в состояние "нормальное".
2. Если под головкой 1, сдвигаемся вправо и остаемся в состоянии "обеспокоенное".

"Легкомысленное" состояние:
1. Если под головкой 0, пишем 1 и сдвигаемся влево, переходим в состояние "обеспокоенное".
2. Если под головкой 1, тогда стоп.

Собственно вопрос ставится следующим образом, сколько треков оставит головка в процессе своей работы, в зависимости от числа предустановленных состояний Σ(n). Для первых четырех значений функция вполне вычислима:

Σ(1) = 1
Σ(2) = 4
Σ(3) = 6
Σ(4) = 13
А вот дальше, скажем, для пяти состояний Σ(5), процесс вычисления становится бесконечным, то есть головка будет двигаться бесконечно, и мы не сможем узнать, сколько в итоге будет треков, но однозначно установлено, что это число конечное, однако точно установить его невозможно, и мы можем сделать лишь его приблизительную оценку.
Σ(5) ≥ 4098
Σ(6) ≥ 3,514⋅1018267

Конечно, может показаться, что эта функция растет слишком медленно по сравнению с теми, которые мы разбирали в пятой части, но это просто она берет плавный разгон. И скажем, например, гугол подставленный в эту функцию Σ(10100), дает результат, который уже никак нельзя оценить, используя любую из рассмотренных нами нотаций или функций быстрорастущей иерархии. Могу сказать лишь, что однозначно это будет больше самого большого числа, которое мы достигли в пятой части.

Не вижу смысла перечислять все невычислимые функции. Мы конечно можем их так же выстроить в порядке возрастания скорости роста, но вот понять насколько велика эта их скорость роста у нас не получится. Поэтому давайте переходить сразу к самым большим невычисляемым функциям. С 2007 по 2014 год самой большой невычислимой функцией считалась Функция Райо, придуманная профессором философии Августином Райо в ходе соревнования проведенного в MIT на тему самое большое конечное число. Естественно правила состязания запрещали жульничать, формулируя что-то вроде "Число, которое всегда на 1 больше чем у моего оппонента". Соответственно участникам нужно было придумать какую-то функцию, которая могла создать самое большое число. Ну и раз мы выяснили, что невычислимые функции всегда растут бытрее, значит и функция эта тоже должна быть не вычислимой. Так вот профессор Райо придумал такую функцию, которая должна возвращать:

Самое маленькое число, большее чем любое конечное число, которое может быть выражено на языке теории множеств первого порядка с использованием n или менее символов. FOST(n).

Что же это значит? Ну главным образом объяснения требует понятие "язык теории множеств первого порядка", что по-ангийски звучит как First Order Set-Theory (FOST). Дело в том, что любое направление математики можно так или иначе вывести из теории множеств, а это значит, что любую математическую штуку можно описать на языке теории множеств. И даже более того, некоторые математические понятия иначе вообще никак нельзя записать, например, самые большие недостижимые кардиналы, которые я приводил во второй части, могут быть описаны только на языке теории множеств. Для непосвященных и даже для математиков, которые не специализируются в этой области, язык теории множеств выглядит не иначе как эльфийская рукопись. Поэтому я не вижу смысла, даже хотя бы частично, объяснять этот язык. Хочу только отметить одну странность, которая в этом языке встречается: иногда записи простых вещей требуется больше символов чем для записи сложных понятий. Например, понятие нуля выгдяти так: ∀a∃b (b∉a), а понятие равенства так: ∀a1∀a2 (∀b(b∈a1⇔b∈a2)⇒a1=a2), с другой стороны рекурсию со скоростью fθ(Ωω)(n) на языке теории множеств можно выразить всего лишь так: П11-CA0. То что язык этот должен быть первого порядка, обозначает что можно пользоваться ограниченным количеством символов, то есть только первично принятыми и не придумывать свои.

Стоит отметить, что данная функция не только невычислимая, но и почти неформулизуемая. То есть компьютеру не то чтобы понадобится бесконечное количество времени для ее вычисления, скорее всего даже составить такую программу, которая могла бы вычислять эту функцию, не представляется возможным. Тем не менее долгое время эта функция считалась самой быстрорастущей, а гугол подставленный в нее FOST(10100) - называли Числом Райо, и это было самым большим придуманным числом до 2016 года.

В 2014 году американский математик Сбис Сайбиан расшрил Функцию Райо. Чтобы понять как, сначал нужно объяснить что такое класс в математике. Термин класс ввели, чтобы избежать парадоксов теории множеств. Класс - определяется как совокупность множеств не являющихся множеством. Во второй части мы познакомились с Парадоксом Рассела, который говорит, что множество всех множеств существовать не может. Аксиома теории множеств, которая утверждает, что существует бесконечность делает этот вопрос бессмысленным лишь в рамках этой аксиомы, но сама постановка вопроса остается: почему не может существовать множество всех множеств. Решением этой проблемы стало введение понятия класса. Математики решили так: множество всех множеств не является множеством - это класс. Казалось бы, ну какая глупость, как ты зверя не назови, он от этого не изменится, но только не в формализме теории множеств. Дело в том, что класс не входит в так называемый "язык теории множеств первого порядка", это более сложное понятие, можно сказать уже придуманное на основе теории множеств. Этот же хитрый ход применили, чтобы в обоход континуум-гипотезы решить проблему со множеством всех счетных ординалов, рассмотренном нами в третьей части. Парадокс, напомню, заключается в следующем: ординал распологающийся за всеми возможными счетными ординалами должен быть несчетным ординалом, но раз он следуют сразу после, значит в то же время должен быть счетным. Так вот решение тоже заключалось в том, что множество всех счетных ординалов это не множество, а класс. И так как класс из собственного определения обособлен от множеств, то и другое множество следовать сразу за ним не может.

Тут можно сделать справедливое замечание, что это уже даже не математика, а скорее философия. Действительно корни математики, а точнее теории множеств теряются где-то в глубине извечных философских вопросов. Тем не менее мы установили, что класс как понятие не входит в "язык теории множеств первого порядка". Самое интересное то, что можно придумать не только классы, но и суперклассы для обобщения обычных классов, а затем напридумовать каких-нибудь рекурсивных расширений и этого понятия, и так далее. Тогда у нас будет получаться язык второго порядка, язык третьего порядка, язык ω-порядка и так далее. Сбис Сайбиан объеденил все эти понятия: множества, классы, суперклассы и так далее - как "кучи", единую теорию, которая это описывает назвал "теорией куч", а ее язык "языком теории куч первого порядка" или по-английский: First Order Oodles-Theory (FOOT).

Не смотря на странное название - такая теория - это серьезное заявление. Никто из математиков до этого занимающихся теорией множеств таких обощений не делал, во-первых потому что в них не было нужды, уже даже суперклассы не нужны в математике для каких-либо практических или описательных нужд, ну а во-вторых даже теория множеств первого порядка обладает таким количеством проблем в виде парадоксов и неразрешимых гипотез, что любые ее расширения только усугубят ситуацию. Тем не менее у Сайбиана не было цели навести порядок в теории множеств, его цель была создать самую быстрорастущую функцию, и как раз язык теории куч первого порядка позволяет это сделать. Дело в том, что в отличие от языка теории множеств первого порядка для выражения каких-либо понятий нам теперь можно пользоваться не только ограниченным количеством символов теории множеств, но и нашими собвстенными разработанными на ее основе символами, если перед этим мы их как-то выразим. Таким образом Функция Сайбиана должна возвращать:

Самое маленькое число, большее чем любое конечное число, которое может быть выражено на языке теории куч первого порядка с использованием n или менее символов. FOOT(n).

Соответственно функция будет расти еще быстрее чем FOST(n), и при этом будет еще менее формализуемая. Однако цель достигнута - эта фунция может создать самое большое невычслимое число. Конечно подставить в нее можно что угодно, но по традиции подставляют гугол. И все же Сайбиан пошел немного дальше и непросто подставил гугол, но еще саму функцию подставил в себя 10 раз. И свое самое большое число в мире, назвал в шутку, руководствуясь игрой слов: BIG FOOT = FOOT10(10100) - что значит:

BIG FOOT = FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(10100))))))))))

И вот в феврале 2016 года этот рекорд был вновь побит, уже известный нам изобретатель массивной нотации Джонатан Бауэрс, не смог смириться с тем, что его титул как лучшего в мире мастера по сверхбольшим числам был отвоеван другими. Он нашел еще одну лазейку в формулировке функции FOOT(n). А именно то, что новые символы, которые мы вводим для обозначения классов тоже должны быть выражены через первичные символы теории множеств. Он задался вопросом, а почему бы нам не использовать такой "язык теории куч", в котором все символы были бы уже предопределены. Причем пусть число этих предопределенных символов будет равно, например, гуголу подставленному в функцию быстрорастущей иерархии от ординала Ратчена fθ(α↦Ωα)(10100). Свою новую функцию он назвал Забвение, или по-английски Oblivion(n), и она должна возвращать:

Самое маленькое число, большее чем любое конечное число, которое может быть выражено на языке теории куч, в котором уже предопределено fθ(α↦Ωα)(10100) символов, с использованием n или менее из этих символов.

Такая функция будет расти явно быстрее чем FOOT(n), но вот как-то формализовать ее уже вообще не представляется возможным. Однако Бауэрс пошел еще дальше. Чтобы объяснить, что он еще придумал, давайте назовем нашу систему символов состоящую из fθ(α↦Ωα)(10100) символов - системой К-1. Теперь пусть число символов в нашей новой теории станет само по себе равно Oblivion(10100) и это будет называться система символов K-2. Затем идет K-3 c Oblivion(Oblivion(10100)) числом символов... и так дойдем до системы K-Oblivion(10100). Так вот, получив такую систему Бауэрс определил новую функцию, назвав ее Полнейшее Забвение, или по-английски Utter Oblivion(n), которая должна возвращать:

Самое маленькое число, большее чем любое конечное число, которое может быть выражено на языке теории куч с K-Oblivion(10100) системой символов с использованием n или менее из этих символов.

Таким образом, подставив по традиции гугол в функцию (мы же понимаем, что от аргумента тут уже ничего не зависит), мы получим ныне самое большое число в мире:

Utter Oblivion(10100)

Если некоторым интересно, можно ли функцию быстрорастущей иерархии сделать на основе несчетного ординала fω1(n), чтобы получить число еще больше. Таких я разочарую, функция быстрорастущей иерархии работает только со счетными ординалами, и выражение fω1(n) - бессмысленно.

Вот и пришло время подвести итоги всему моему циклу статей по гугологии. Я хочу сделать эти итоги в том же духе, в котором и построена вся гугология, выстроить все что в ней есть в порядке возрастания.

Число 0 и число 1 (вводятся в математику аксиоматически)
Натуральные числа, поддающиеся естественному восприятию
Древние нотации для записи чисел
Десятичная нотация для записи чисел
Логарифмическая нотация для записи больших чисел / Быстрорастущие функции
Нотации для записи сверхбольших чисел / Сильно быстрорастущие функции
Функции быстрорастущей иерархии (самая большая придуманная: fθ(α↦Ωα)(n))
Невычислимые функции (самая большая придуманная: Utter Oblivion(n))
Бесконечность натуральных чисел (вводится в математику аксиоматически)
Трансфинитные счетные ординалы
Рекурсии трансфинитных счетных ординалов
Нотации для записи трансфинитных счетных ординалов
Коллапсирующая ординальная функция
Недостижимые трансфинитные счетные ординалы
Счетный кардинал (ℵ0)
Несчетные кардиналы соответсвтуют Несчетным ординалам
Колличественная недостижимость (вводятся в математику аксиоматически)
Недостижимые несчетные кардиналы соответсвтуют Недостижимым несчетным
ординалам
Самый большой недостижимый кардинал непротиворечащий аксиомам математики (RANK-INTO-RANK)
Недостижимые кардиналы противоречащие аксиомам математики

Вот собственно и все что представляет собой на сегодняшний день гугология. Последний пункт в этом списке нами еще не рассматривался, потому что именно на нем я хотел бы закончить этот цикл, и сейчас мы его затронем. Как ни странно, но именно изучение недостижимых кардиналов противоречащих аксиомам теории множеств - это сегодня передовой край исследований в математике. Но как мы выяснили во второй части, ведь если что-то противоречит принятой формальной системе, значит в этой системе это существовать не может, и следовательно бессмылсенно говорить о существовании каких-либо сущностей больших чем кардинал RANK-INTO-RANK. Считается, что любой кардинал больший его будет вызывать парадокс среди принятых ранее аксиом. Так зачем нам нужны такие сущности, которые не могут существовать даже в созданной нами абстракции?

Так вот несерьезная на первый взгляд наука гугология, можно сказать ближе всех подошла к самой серьезной проблеме в математике. Дело в том, что в 1931 г. математик Курт Гёдель доказал Теорему о неполноте математики, согласно которой система любых аксиом не может быть замкнутой. Особенно это касается теории множеств, самой фундаментальной в математике, ибо она уже не может опираться или ссылаться на другую отрасль и должна объяснять сама себя, но по Теореме Гёделя это невозможно, иначе ей потребовалась бы замкнутая система аксиом. Именно поэтому континуум-гипотеза считается недоказуемой, и именно поэтому в теории множеств до сих пор остается так много парадоксов. Но математики как известно легких путей не ищут. Сегодня приоритетным направлением исследований считается следующая идея: если мы не можем решить все проблемы теории множеств находясь в пределах ее аксиом, тогда давайте искать решение за пределами этих аксиом в утверждениях, которые этим акиомам противоречат. Такое решение иначе как "клин клином" не назовешь, но это единственное, что остается делать математикам, чтобы еще сильнее понять природу царицы наук. Так вот гугология со своими недостижимыми кардиналами, которые противоречат аксиомам; со своими невычислимыми функциями, которые противоречат акиомам; и с другими вопросами в духе "что больше", ответы на которые так же могут противоречить акиомам - как раз и дает тот самый материал для исследования самых фундаментальных проблем в математике.

Напоседок приглашаю вас почитать постскриптум к этому циклу статей, в который я включил то, что по тем или иным причинам не попало в основное повествование.

Ссылки на английском языке:
Массивная нотация Криса Берда (сайт Берда)
Массивная нотация Джонатана Бауэрса (сайт Бауэрса)
Сайт Сбиса Сайбиана (о сверхбольших числах)
Сайт Куки Фонстера (о быстрорастущих функциях)
Сайт Роберта Мунафо (о гугологии)
Официальная википедия по Гугологии

Ссылки на русском языке:
Число Грэма на пальцах
Бесконечноскрёбы Джонатана Бауэрса

Занимательная Гугология, часть 5. Какое число самое большое? (2)

Дисклеймер: Перед тем как читать эту статью обязательно прочтите первую, вторую, третью часть этого цикла. Но самое главное необходимо, чтобы вами была прочитана четвертая часть, поскольку эта часть является ее непосредственным продолжением.
1

В предыдущей части мы начали с вами разбирать быстрорастущие функии и нотации для записи сверхбольших чисел, расставляя их по скорости роста. Поэтому в этой части без всяких вступлений продолжаем, то что начали.

Начиная с уровня fω⋅2+k(n) идут более сильные нотации для записи чисел, смысл которых объяснить доступным языком очень сложно. Однако есть определенные математические правила, по которым их нужно вычислять. Однако эти правила я здесь приводить не буду (ибо они тоже сложны), вместо этого я буду сравнивать данные нотации с функциями быстрорастущей иерархии, и если внимательно следить за этими сравнениями, то можно будет легко проследить за силой этих нотаций.

Первые две нотации я уже приводил в первой части цикла. Но теперь у нас есть реальный инструмент, которым можно измерить их силу. Для начала рассмотрим Стрелочную нотацию Конвея:

fω⋅2+k(n) > n→n→n→k при k > 2
fω⋅3(n) > n→n→n→n
fω⋅4(n) > n→n→n→n→n
fω⋅k(n) > n→n→n→n→n→ ... →n где цепь из k+1 элементов.

Дальше в функциях быстрорастущей иерархии снова идет переход к новой рекурсии:

fω⋅n(n) = fω⋅ω(n) = fω2(n)

Что в свою очередь соответствует:

fω2(n) > n→n→n→n→n→ ... →n где цепь из n+1 элементов.

За этим следуют функции fω3(n), fω4(n), ..., fωk(n), и наконец, fωn(n) = fωω(n), которые, в свою очередь, начинают соотвествовать второй, уже знакомой нам, Линейной массивной нотации Бауэрса-Берда.

fω2(n) > {n,n,n,n}
fω3(n) > {n,n,n,n,n}
fω4(n) > {n,n,n,n,n,n}
fωk(n) > {n,n,n,...,n} где k+2 элементов.

После перехода к новой рекурсии fωn(n) = fωω(n) с ней уже перестает справляться даже Линейная массивная нотация Бауэрса-Берда.

fωω(n) > {n,n,n,...,n} где n+2 элементов.

Но на этом этапе мы немного отвлечемся от нотаций, ведь и помимо них в математике есть множество других быстрорастущих функций. Например, примерно с этой же скоростью, которую мы достигли, растет Функция блочной субпоследовательности Фридмана:

fωω(n) > BST(n) > fωω+1(n)

Как не трудно догадаться, теорема создающая столь быстрорастущую функцию происходит из области комбинаторики. Ее смысл заключается в следующем: если составлять из определенного числа видов элементов самые разные последовательности, подставляя их по очереди, то в этих последовательностях будут возникать две субпоследовательности, которых ранее в данной цепи подстановок не было. Но рано или поздно такие субпоследовательности перестанут появляться. Самая длинная цепь из последовательностей и есть ответ функции. Для одно элемента BST(1), это наступит уже на третий раз: A ; AA (A + A) ; AAA (A + AA или A + AA). Как видите вторую последовательность AA мы разделили на A и A, но до этого у нас было только одно A, а значит можно продолжать дальше. А вот третью последовательность можно разделить только на A и AA или на A и AA, в любом случае обе субпоследовательности в цепи уже есть, а значит всё, стоп, BST(1) = 3. В свою очередь BST(2) = 11, и соответственно самая длинная цепь последовательностей будет выглядеть так: A, AB, ABB, ABBB, ABBBA, ABBBAA, ABBBAAA, ABBBAAAA, ABBBAAAAA, ABBBAAAAAA, ABBBAAAAAAB. Ну а дальше функция уже в полной мере проявляет свой рост: BST(3) > 2[7198]158389 ; BST(4) > superhyper(3,3,5,2[187195]187196) - намного больше Числа Грэма.

Возвращаемся к нотациям. На очереди идет Многомерная массивная нотация Бауэрса-Берда, которая в свою очередь является расширением Линейной массивной нотации.

fωω(n) > {n,n+2(2)2}
fωω+1(n) > {n,n,2(2)2},
fωω+k(n) > {n,n,k+1(2)2},
fωω⋅k(n) > {n,n,n,...,n(2)k} где число n до (2) равно n+2
fωω+1(n) > {n,n,n,...,n(2)n} где число n до (2) равно n+2
fωω+2(n) > {n,n,...,n(2)n,n} где число n до (2) равно n+2
fωω+k(n) > {n,n,...,n(2)n,n,...,n} где число n до (2) равно n+2, а после равно k
fωω⋅2(n) > {n,n,...,n(2)n,n,...,n} где число n до (2) равно n+2, а после равно n
fωω2(n) > {n,n(3)2}
fωω3(n) > {n,n(4)2}
fωω4(n) > {n,n(5)2}
fωωk(n) > {n,n(k+1)2}

Но и у этой нотации есть свой предел прочности:

fωωω(n) > {n,n(n+1)2}

Затем следует очередное расширение, которое называют Гипермерной массивной нотацией Бауэрса-Берда:

fωωω(n) > {n,n(1,2)2}
fωωω+1(n) > {n,n(2,2)2}
fωωω+k(n) > {n,n(k+1,2)2}
fωωω⋅2(n) > {n,n(1,3)2}
fωωω⋅k(n) > {n,n(1,k+1)2}
fωωω2(n) > {n,n(1,1,2)2}
fωωω3(n) > {n,n(1,1,1,2)2}
fωωωk(n) > {n,n(1,1,...,2)2} где число единиц равно k
fωωωω(n) > {n,n(1,1,...,2)2} где число единиц равно n

И когда нотация достигает своего предела, ей на смену опять же приходит расширение в виде Вложенной массивной нотации Берда. Перед тем как ее разбирать, хочется отметить, что Бауэрс, изначальный создатель семейства массивных нотаций, дальше пошел по другому пути, который с одной стороны мощнее следующего расширения Берда, но именно дальнейшее развитие этого расширения позволило Берду создать еще более мощные нотации.

Итак, сравниваем Вложенную массивную нотацию Берда с функциями быстрорастущей иерархии:

fωωωω(n) = fω[4]4(n) > {n,n(1(2)2)2}
fωωωω2(n) > {n,n(1(3)2)2}
fωωωωk(n) > {n,n(1(k+1)2)2}
fωωωωω(n) = fω[4]5(n) > {n,n(1(1,2)2)2}
fωωωωω2(n) > {n,n(1(1,1,2)2)2}
fωωωωωk(n) > {n,n(1(1,1,...,2)2)2} где число 1 равно k
fω[4]6(n) > {n,n(1(1(2)2)2)2}
fω[4]7(n) > {n,n(1(1(1,2)2)2)2}
fω[4]8(n) > {n,n(1(1(1(2)2)2)2)2}
fω[4]ω(n) > {n,n(1(1(1(...)2)2)2)2} где число вложений равно n/2 и в конце (2) для четных n; или (n-1)/2 и в конце (1,2) для нечетных n

Собственно, очередной предел очередного расширения массивной нотации достигут:
fω[4]n(n) = fω[4]ω(n) = fε0(n)

Сейчас опять ненадолго отвлечемся от расширений массивной нотации, потому что на нашем пути снова возникла быстрорастущая функция, соизмеримая с текущим уровнем роста. Это Функция Гудстейна возникающая в Теореме Гудстейна, которая подтверждает непротиворечивость арифметики, исходя из представлений математической логики о натуральных числах. Смысл теоремы в следующем: необходимо взять любое число; разложить его на сумму из степени двойки; затем попеременно увеличивать основание каждой получившейся степени на 1 и вычитать из всего выражения 1 (причем основание степени увеличивается лишь пока оно не уменьшилось в результате предыдущей операции вычитания). В итоге, какое бы число мы не взяли при таком разложении, все равно рано или поздно получится ноль. Вот только для каждого следующего натурального числа эта операция разложения будет иметь все бо́льшее и бо́льшее число шагов. Чтобы лучше понять принцип разложения продемонстрируем его на примере числа 3. Итак первый шаг это: 21+1, а дальше попеременно увеличиваем основание и вычитаем единицу: 31+1-1; 41-1. И вот на четвертом шаге основание уменьшилось: 3-1=2, а значит мы его больше не увеличиваем и за следующих два шага получаем ноль: 2-1=1; 1-1=0. Все это заняло у нас 6 шагов, а значит G(3)=6. Давайте теперь посмотрим другие значения этой функции (особенно большие значения выразим в массивной нотации).

G(1) = 2
G(2) = 4
G(3) = 6
G(4) = 3⋅2402653211-2
G(5) < 4[5]8
G(8) < {3,4,1,2}
G(16) < {3,5,3,3,3}
G(32) < {3,5,2(2)2}
G(256) < {3,6(2)3}
G(65536) < {3,4(4)2}
G(265536) < {3,4(1(2)2)2}
G(2265536) < {3,3(1(1(2)2)2)2}
G(22265536) < {3,3(1(1(1,2)2)2)2}

Из этих примеров можно сделать вывод, что несмотря на то что функция довольно долго разгоняется для ее уровня, общий уровень ее роста все же соответствует fε0(n) > G(n).

На очереди следующее расширение массивной нотации. Дальше уже придется карабкаться вверх в несколько этапов. Однако уже на примере этого расширения будет отчетливо видно как во всей красе раскрывается наша хитрость - использование трансфинитных ординалов в функциях быстрорастущей иерархии. Ведь по сути все рекурсии уже придуманы при создании этих ординалов, и нам не нужно заново изобретать колесо, мы просто подставляем их в диаганализационный принцип, где вместо бесконечности у нас идет самодействие (n на n). В итоге с каждым бо́льшим ординалом мы получаем все более быстрорастущую функцию, так что теперь вы понимаете, почему мы так тщательно разбирали эти ординалы в третьей части цикла.

Между прочим Берд при создании своих нотаций тоже ориентировался именно на функции быстрорастущей иерархии. Конечно, его нотации позволяют более детально описать сверхбольшое число, но вот так на вскидку понять его масштаб сложно, именно поэтому он выложил полный перечень сопоставления своих нотаций с функциями быстрорастущей иерархии, который я здесь частично и привожу. В общем, вот вам его следующее расширение - Гипервложенная массивная нотация Берда:

fε0(n) > {n,n((1))2}
fε0⋅2(n) > {n,n((1((1))2))2}
fε0⋅ω(n) > {n,n((1((1))1,2))2}
fε0ω(n) > {n,n((1((2))2))2}
fε0ε0(n) > {n,n((1((1((2))2))2))2}
fε1(n) > {n,n((1((1((...))2))2))2} где число вложений равно n
fε1(n) > {n,n(((1)))2}
fε2(n) > {n,n((((1))))2}
fεk(n) > {n,n((...((1))...))2} где число скобок равно k-2

fε0(n) > {n,n(1\2)2}
fε1(n) > {n,n(1\3)2}
fε2(n) > {n,n(1\4)2}
fεk(n) > {n,n(1\k+2)2}
fεω(n) > {n,n(1\1,2)2}
fεω+1(n) > {n,n(1\2,2)2}
fεω+2(n) > {n,n(1\3,2)2}
fεω⋅2(n) > {n,n(1\1,3)2}
fεω⋅3(n) > {n,n(1\1,4)2}
fεω2(n) > {n,n(1\1,1,2)2}
fεω3(n) > {n,n(1\1,1,1,2)2}
fεωω(n) > {n,n(1\1(2)2)2}
fεωωω(n) > {n,n(1\1(1(2)2)2)2}
fεε0(n) > {n,n(1\1(1\2)2)2}
fεεε0(n) > {n,n(1\1(1(1\2)2)2)2}
fζ0(n) > {n,n(1\1(1(...)2)2)2} где число вложений равно n

fζ0(n) > {n,n(1\1\2)2}
fζ0+1(n) > {n,n(2\1\2)2}
fζ0+2(n) > {n,n(3\1\2)2}
fζ0[4]ω(n) > {n,n(1\2\2)2}
fζ0[4]ω[4]ω(n) > {n,n(1\3\2)2}
fζ1(n) > {n,n(1\1\3)2}
fζ2(n) > {n,n(1\1\4)2}
fζk(n) > {n,n(1\1\k+2)2}
fζω(n) > {n,n(1\1\1,2)2}
fζε0(n) > {n,n(1\1\1(1\2)2)2}
fζζ0(n) > {n,n(1\1\1(1\1\2)2)2}
fζζζ0(n) > {n,n(1\1\1(1\1\1(1\1\2)2)2)2}
fη0(n) > {n,n(1\1\1(1\1\1(1\1\...)2)2)2} где число вложений равно n

fε0(n) = fφ(1, 0)(n) > {n,n(1\2)2}
fζ0(n) = fφ(2, 0)(n) > {n,n(1\1\2)2}
fη0(n) = fφ(3, 0)(n) > {n,n(1\1\1\2)2}
fφ(4, 0)(n) > {n,n(1\1\1\2)2}
fφ(5, 0)(n) > {n,n(1\1\1\1\2)2}
fφ(ω, 0)(n) > {n,n(1\1\1\...\2)2} где число единиц равно n
fφ(ω, k)(n) > {n,n(1\1\1\...\k+2)2} где число единиц равно n

Вот он предел этого расширения нотации. И, как вы догадываетесь, когда достигнут очередной предел возможностей нотации, вводится ее новое расширение. И уже на этом этапе видно, как каждый новый вид записи скобок, запятых или обратных слешей создает еще более мощную рекурсию, в составе которой прокручиваются все прежние рекурсии. А когда рекурсия начинает уже обращаться сама к себе, снова вводится новый тип записи. Очередное расширение называется Вложенная гипервложенная массивная нотация Берда, и чтобы понять ее нам опять потребуется несколько этапов.

fφ(ω, 0)(n) > {n,n(1\\2)2}
fφ(ω, 0)+1(n) > {n,n(2\\2)2}
fφ(ω, 0)⋅2(n) > {n,n(1(1\\2)2\\2)2}
fφ(ω, 0)ω(n) > {n,n(1(2\\2)2\\2)2}
fφ(ω, 1)(n) > {n,n(1\\3)2}
fφ(ω, 2)(n) > {n,n(1\\4)2}
fφ(ω, ω)(n) > {n,n(1\\1,2)2}
fφ(ω, ω+1)(n) > {n,n(1\\2,2)2}
fφ(ω, ω⋅2)(n) > {n,n(1\\1,3)2}
fφ(ω, ω2)(n) > {n,n(1\\1,1,2)2}
fφ(ω, ωω)(n) > {n,n(1\\1(2)2)2}
fφ(ω, ε0)(n) > {n,n(1\\1(1\2)2)2}
fφ(ω,φ(ω, ω))(n) > {n,n(1\\1(1\\2)2)2}
fφ(ω,φ(ω, φ(ω, ω)))(n) > {n,n(1\\1(1\\(1\\2)2)2)2}
fφ(ω,φ(ω, φ(ω, φ(ω, ...))))(n) > {n,n(1\\1(1\\(1\\(...)2)2)2)2} где число вложений равно n

fφ(ω+1, 0)(n) > {n,n(1\\1\2)2}
fφ(ω+1, 1)(n) > {n,n(1\\1\3)2}
fφ(ω+2, 0)(n) > {n,n(1\\1\1\2)2}
fφ(ω+3, 0)(n) > {n,n(1\\1\1\1\2)2}
fφ(ω⋅2, 0)(n) > {n,n(1\\1\\2)2}
fφ(ω⋅2, 1)(n) > {n,n(1\\1\\3)2}
fφ(ω⋅3, 0)(n) > {n,n(1\\1\\1\\2)2}
fφ(ω2, 0)(n) > {n,n(1\\1\\1\\...\\2)2} где число единиц равно n
fφ(ω2, k)(n) > {n,n(1\\1\\1\\...\\k+2)2} где число единиц равно n

fφ(1, 0)(n) > {n,n(1\2)2} = {n,n(1(1¬2)2)2}
fφ(ω, 0)(n) > {n,n(1\\2)2} = {n,n(1(2¬2)2)2}
fφ(ω2, 0)(n) > {n,n(1\\\2)2} = {n,n(1(3¬2)2)2}
fφ(ω3, 0)(n) > {n,n(1\\\\2)2} = {n,n(1(4¬2)2)2}
fφ(ωω, 0)(n) > {n,n(1\...\2)2} = {n,n(1(1,2¬2)2)2} где число \ равно n-1
fφ(ω[4]3, 0)(n) > {n,n(1(1(2)2¬2)2)2}
fφ(ω[4]4, 0)(n) > {n,n(1(1(1,2)2¬2)2)2}
fφ(ε0, 0)(n) > {n,n(1(1\2¬2)2)2}
fφ(φ(ε0, 0), 0)(n) > {n,n(1(1(1\2¬2)2¬2)2)2}
fφ(φ(φ(..., 0), 0), 0)(n) = fГ0(n) > {n,n(1(1(1(...¬2)2¬2)2¬2)2)2} где число вложений равно n

fГ0(n) = fφ(1, 0, 0)(n) > {n,n(1(1¬3)2)2}
fГ0+1(n) > {n,n(2(1¬3)2)2}
fГ1(n) > {n,n(1(1¬3)3)2}
fГω(n) > {n,n(1(1¬3)1,2)2}
fГε0(n) > {n,n(1(1¬3)1(1\2)2)2}
fГГ0(n) > {n,n(1(1¬3)1(1¬3)2)2}
fГГГ0(n) > {n,n(1(1¬3)1(1¬3)1(1¬3)2)2}
fГГГ...(n) = fφ(1, 1, 0)(n) > {n,n(1(1¬3)1(1¬3)1(1¬3)...2)2} где число вложений равно n

fφ(1, 1, 0)(n) > {n,n(1(1¬3)1\2)2}
fφ(1, 1, 1)(n) > {n,n(1(1¬3)1\3)2}
fφ(1, 2, 0)(n) > {n,n(1(1¬3)1\1\2)2}
fφ(1, 3, 0)(n) > {n,n(1(1¬3)1\1\1\2)2}
fφ(2, 0, 0)(n) > {n,n(1(1¬3)1(1¬3)2)2}
fφ(2, 0, 1)(n) > {n,n(1(1¬3)1(1¬3)3)2}
fφ(2, 1, 0)(n) > {n,n(1(1¬3)1(1¬3)1\2)2}
fφ(3, 0, 0)(n) > {n,n(1(1¬3)1(1¬3)1(1¬3)2)2}
fφ(ω, 0, 0)(n) > {n,n(1(1¬3)1(1¬3)1(1¬3)...2)2} где число вложений равно n

fφ(ω, 0, 0)(n) > {n,n(1(2¬3)2)2}
fφ(ω2, 0, 0)(n) > {n,n(1(3¬3)2)2}
fφ(ωω, 0, 0)(n) > {n,n(1(1,2¬3)2)2}
fφ(ε0, 0, 0)(n) > {n,n(1(1\2¬3)2)2}
fφ(Г0, 0, 0)(n) > {n,n(1(1(1¬3)2¬3)2)2}
fφ(φ(Г0, 0, 0), 0, 0)(n) > {n,n(1(1(1(1¬3)2¬3)2¬3)2)2}
fφ(φ(φ(..., 0, 0), 0, 0), 0, 0)(n) > {n,n(1(1(1(...¬3)2¬3)2¬3)2)2} где число вложений равно n

fθ(Ω)(n) = fφ(1, 0, 0)(n) > {n,n(1(1¬3)2)2}
fθ(Ω2)(n) = fφ(1, 0, 0, 0)(n) > {n,n(1(1¬4)2)2}
fθ(Ω3)(n) = fφ(1, 0, 0, 0, 0)(n) > {n,n(1(1¬5)2)2}
fθ(Ωk)(n) = fφ(1, 0, 0, 0, ..., 0)(n) > {n,n(1(1¬k+2)2)2}

fθ(Ωω)(n) > {n,n(1(1¬1,2)2)2}
fθ(Ωω+1)(n) > {n,n(1(1¬2,2)2)2}
fθ(Ωω⋅2)(n) > {n,n(1(1¬1,3)2)2}
fθ(Ωω2)(n) > {n,n(1(1¬1,1,2)2)2}
fθ(Ωωω)(n) > {n,n(1(1¬1(2)2)2)2}
fθ(Ωε0)(n) > {n,n(1(1¬1\2)2)2}
fθ(ΩГ0)(n) = fθ(Ωθ(Ω))(n) > {n,n(1(1¬1(1¬3)2)2)2}
fθ(Ωθ(Ωθ(Ω)))(n) > {n,n(1(1¬1(1¬1(1¬3)2)2)2)2}
fθ(Ωθ(Ωθ(Ωθ(...))))(n) = fθ(ΩΩ)(n) > {n,n(1(1¬1(1¬1(1¬1(...¬3)2)2)2)2)2} где число вложений равно n

Здесь давайте прервем свое восхождение по Вложенной гипервложенной массивной нотации Берда, и снова разберем функцию не имеющую отношения к массивным нотациям, поскольку где-то здесь она и располагается по своей скорости роста. Функция это опять же происходит из области комбинаторики, а конкретнее из теории графов. И перед тем как привести функцию, для начала следует объяснить, что значит термин "древо". А означает он следуюшее: древо - это такой граф, у которого имеется наличие только одного пути между любой парой вершин и отсутствуют циклы. Так вот, допустим у нас есть последовательность из n-узловых древ T1, T2, ... со следующими свойствами: каждое Ti древо имеет не более i вершин; и нет среди них такого древа, которое могло бы быть образовано из последующих древ с удалением ребер и вершин или стягиванием ребер. Теорема Краскала утверждает, что такая последовательность не может быть бесконечной. Математик Харви Фридман поставил вопрос так, сколько древ будет в данной последовательности в зависимости от числа допустимых узлов (n). Такая функция будет расти невероятно быстро. Поначалу так и не скажешь: TREE(1) = 1, TREE(2) = 3. Однако начиная с TREE(3) происходит настоящий взрыв. В массивной нотации это значение можно выразить так: TREE(3) > {3,6,3(1(1¬1,2)2)2}.

В целом же скорость роста функции TREE(n) определить очень сложно. Примерные расчеты показывают, что ее скорость лежит где-то между: fθ(Ωω)(n) < TREE(n) < fθ(ΩΩ)(n)

Ну а теперь можно снова вернуться к Вложенной гипервложенной массивной нотации Берда.

fθ(ΩΩ)(n) > {n,n(1(1¬1¬2)2)2}
fθ(ΩΩ⋅ω)(n) > {n,n(1(2¬1¬2)2)2}
fθ(ΩΩ+1)(n) > {n,n(1(1¬2¬2)2)2}
fθ(ΩΩ⋅2)(n) > {n,n(1(1¬1¬3)2)2}
fθ(ΩΩ2)(n) > {n,n(1(1¬1¬1¬2)2)2}
fθ(ΩΩ3)(n) > {n,n(1(1¬1¬1¬1¬2)2)2}
fθ(ΩΩω)(n) > {n,n(1(1¬1¬1¬1...¬2)2)2} где число единиц равно n-1

На этот раз не очень большой подъем получился, всего в один этап, тем не менее предел Вложенной гипервложенной массивной нотации Берда достингут, и уже думаю никто не удивляется, что нас ждет новое расширение массивной нотации.

Но сперва еще один небольшой перерыв. Как я уже упоминал Бауэрс, изначальный создатель массивной нотации, после гипермерного расширения пошел иным путем, который он назвал Тетрационной массивной нотацией Бауэрса, а ей на смену ввел, так называемую, Легионную массивную нотацию Бауэрса. Их здесь подробно мы разбирать не будем, остановимся лишь на том, до какого уровня он развил свое детище. Однако сперва хотелось бы отметить неординарность этого математика. Для него массивная нотация, которую он собственно придумал и развивал, воспринимается как игра. Чего стоят одни только названия, которые он давал числам придуманным в его нотации. Так вот, самое большое число, которое можно создать в его последнем Легонном расширении, он назвал Meameamealokkapoowa Oompa. Масштаб этого числа расположился где-то между fθ(ΩΩ)(10) < Meameamealokkapoowa Oompa < fθ(ΩΩ⋅ω)(10). А используя Вложенную гипервложенную массивную нотацию Берда, можно еще точнее определить его масштаб:

Meameamealokkapoowa Oompa ≈ {10,10(1\10(1¬1¬2)1\10(1¬1¬2)101)2}

Так что Берд, который модифицировал массивную нотацию Бауерса и развил ее в ином направлении, добился описания еще бо́льших чисел. Поэтому, собственно, и мы продолжаем карабкаться по расширениям Берда. На очереди Вложенная индексная массивная нотация Берда. Для начала рассмотрим как она соотносится с прежним расширением.

fφ(ω, 0)(n) > {n,n(1(2¬2)2)2} = {n,n(1(2\22)2)2}
fθ(Ω)(n) > {n,n(1(1¬3)2)2} = {n,n(1(1\23)2)2}
fθ(Ω2)(n) > {n,n(1(1¬4)2)2} = {n,n(1(1\24)2)2}
fθ(Ωω)(n) > {n,n(1(1¬1,2)2)2} = {n,n(1(1\21,2)2)2}
fθ(ΩΩ)(n) > {n,n(1(1¬1¬2)2)2} = {n,n(1(1\21\22)2)2}
fθ(ΩΩ2)(n) > {n,n(1(1¬1¬1¬2)2)2} = {n,n(1(1\21\21\22)2)2}
fθ(ΩΩω)(n) > {n,n(1(2\32)2)2}

Ну а теперь погнали дальше, где прежние расширения уже бессильны.

fθ(ΩΩΩ)(n) > {n,n(1(1\33)2)2}
fθ(Ω[4]4)(n) > {n,n(1(1(1\31\32)2)2)2}
fθ(Ω[4]5)(n) > {n,n(1(1(1\43)2)2)2}
fθ(Ω[4]6)(n) > {n,n(1(1(1(1\41\42)2)2)2)2}
fθ(Ω[4]7)(n) > {n,n(1(1(1(1\53)2)2)2)2}
fθ(Ω[4]8)(n) > {n,n(1(1(1(1(1\51\52)2)2)2)2)2}
fθ(Ω[4]k)(n) > {n,n(1...(1(1(1(1\(k+3)/23)2)2)2)2)...2} где (k+3)/2 вложений - для нечетных k
fθ(Ω[4]k)(n) > {n,n(1...(1(1(1(1\(k+2)/2 1\(k+2)/22)2)2)2)2)...2} где (k+2)/2 вложений - для четных k

Что ж, в этот раз предел текущего расширения был достигнут весьма быстро:

fθ(Ω[4]n)(n) = fθ(Ω[4]ω)(n) = fθ(εΩ)

Работая над очередным расширением Берд решил использовать старый прием с индексами, но в этот раз изменил одно правило, которое позволяет меньшим индексам расположенным спереди еще сильнее увеличивать рекурсии. Новые индексы он назвал иерархиями, и для их записи обратный слеш сменил на прямой. В общем этот хитрый ход позволил, фактически используя старый слегка измененый метод, создавать еще бо́льшие рекурсии. Новое расширение называется Иерархической гипервложенной массивной нотацией. И как можно заметить, сперва оно совсем не отличается от Вложенной индексной массивной нотации Берда:

fε0(n) > {n,n(1\2)2} = {n,n(1/2)2}
fφ(ω, 0)(n) > {n,n(1(2\22)2)2} = {n,n(1(2/22)2)2}
fφ(ω+1, 0)(n) > {n,n(1\21\2)2} = {n,n(1/21/2)2}
fφ(ωω, 0)(n) > {n,n(1(1,2\22)2)2} = {n,n(1(1,2/22)2)2}

Но уже начиная с уровня fφ(ε0, 0)(n), встречается первое отличие:

fφ(ε0, 0)(n) > {n,n(1(1\2\22)2)2} = {n,n(1(1(1/2)2/22)2)2}
fφ(φ(ε0, 0), 0)(n) > {n,n(1(1(1\2\22)2\22)2)2} = {n,n(1(1(1(1(1/2)2/22)2)2/22)2)2}
fφ(φ(φ(ε0, 0), 0), 0)(n) > {n,n(1(1(1(1\2\22)2\22)2\22)2)2} = {n,n(1(1(1(1(1(1(1/2)2/22)2)2/22)2)2/22)2)2}

Затем уже начинаются отличия, которые сразу бросаются в глаза, и их легко проследить, изучив эти примеры:

fθ(Ω)(n) > {n,n(1(1\23)2)2} = {n,n(1(1/2/22)2)2}
fθ(ΩΩ)(n) > {n,n(1(1\21\22)2)2} = {n,n(1(1/1/222)2)2}
fθ(ΩΩΩ)(n) > {n,n(1(1\33)2)2} = {n,n(1(1(1/2/22)2/22)2)2}
fθ(Ω[4]4)(n) > {n,n(1(1(1\31\32)2)2)2} = {n,n(1(1(1/1/2/22)2/22)2)2}
fθ(Ω[4]5)(n) > {n,n(1(1(1\43)2)2)2} = {n,n(1(1(1(1/2/22)2/22)2/22)2)2}
fθ(Ω[4]6)(n) > {n,n(1(1(1(1\41\42)2)2)2)2} = {n,n(1(1(1(1/1/2/22)2/22)2/22)2)2}
fθ(Ω[4]k)(n) > {n,n(1(1(1...(1/2/22)...2/22)2/22)2)2} где (k+3)/2 вложений - для нечетных k
fθ(Ω[4]k)(n) > {n,n(1(1(1...(1/1/2/22)...2/22)2/22)2)2} где (k+2)/2 вложений - для нечетных k

Ну а дальше мы видим, как Иерархическая гипервложенная массивная нотация обгоняет Вложенную индексную массивную нотацию, не оставляя последней никаких шансов на какое-либо выражение сверхбольших чисел соответсвующего уровня:

fθ(Ω[4]ω)(n) = fθ(εΩ) = fθ(φ(1, Ω))(n) > {n,n(1(1/23)2)2}
fθ(εΩ)+1(n) > {n,n(2(1/23)2)2}
fθ(εΩ)+ω(n) > {n,n(1,2(1/23)2)2}
fθ(εΩ+1)(n) > {n,n(2(1/23)1/2)2}
fθ(εΩ+ω)(n) > {n,n(2(1/23)2/22)2}
fθ(εΩ⋅ω)(n) > {n,n(2(2/23)2)2}
fθ(εΩ+1)(n) > {n,n(1(1/24)2)2}
fθ(εΩ+ω)(n) > {n,n(1(1/21,2)2)2}
fθ(εΩ⋅ω)(n) > {n,n(1(1/21/2)2)2}
fθ(εεΩ)(n) > {n,n(1(1/21(1/23)2)2)2}
fθ(εεεΩ)(n) > {n,n(1(1/21(1/21(1/23)2)2)2)2}
fθ(ζΩ)(n) = fθ(φ(2, Ω))(n)> {n,n(1(1/21/22)2)2}
fθ(ζΩ+1)(n) > {n,n(1(1/21/23)2)2}
fθ(ηΩ)(n) = fθ(φ(3, Ω))(n) > {n,n(1(1/21/21/22)2)2}
fθ(φ(4, Ω))(n) > {n,n(1(1/21/21/21/22)2)2}
fθ(φ(ω, Ω))(n) > {n,n(1(1/2...1/21/21/21/22)2)2} где число 1/2 равно n

fθ(φ(ω, Ω))(n) > {n,n(1(1(2/32)2)2)2}
fθ(φ(Ω, 1))(n) > {n,n(1(1(1/2/32)2)2)2}
fθ(φ(Ω⋅ω, 1))(n) > {n,n(1(1(2/2/32)2)2)2}
fθ(φ(Ω⋅Ω, 1))(n) > {n,n(1(1(1/3/32)2)2)2}
fθ(φ(ΩΩ, 1))(n) > {n,n(1(1(1/1/2/32)2)2)2}
fθ(φ(εΩ, 1))(n) = fθ(φ(φ(1, Ω)))(n) > {n,n(1(1(1(1/23)2/32)2)2)2}
fθ(φ(φ(φ(1, Ω))))(n) > {n,n(1(1(1(1(1(1/23)2/32)2)2/32)2)2)2}
fθ(φ(φ(φ(φ(1, Ω)))))(n) > {n,n(1(1(1(1(1(1(1(1/23)2/32)2)2/32)2)2/32)2)2)2}

fθ(Ω)(n) > {n,n(1(1/2/22)2)2}
fθ(ГΩ)(n) = fθ(Ω2) > {n,n(1(1(1/22/32)2)2)2}
fθ(Ω3)(n) > {n,n(1(1(1(1/32/42)2)2)2)2}
fθ(Ω4)(n) > {n,n(1(1(1(1(1/42/52)2)2)2)2)2}
fθ(Ω5)(n) > {n,n(1(1(1(1(1(1/52/62)2)2)2)2)2)2}
fθ(Ω6)(n) > {n,n(1(1(1(1(1(1/62/72)2)2)2)2)2)2}
fθ(Ωω)(n) > {n,n(1(1(1(1(1...(1/n2/n+12)...2)2)2)2)2)2} где n+1 вложений

Тут, где заканчиваются возможности Иерархической гипервложенной массивной нотация Берда, которая может уже может быть сопоставима с коллапсирующей ординальной функцией взятой от несчетных оридналов разной мощности, мне бы хотелось сделать одно важное наблюдение о том, как все в гугологии взаимосвязанно. Внимательно прочитайте его и обратите внимание, что это лишь первое наблюдение, а в следующей части я приведу еще одно для их сравнения.

Взаимосвязь №1.
Кардиналы обозначают количественную бесконечность. Ординалы обозначают порядковую бесконечность. Все кардиналы кроме ℵ0, считаются несчетными. Каждому несчетному кардиналу соответствует несчетный ординал. Коллапсирующая ординальная функция θ( ) из несчетных ординалов создает счетные ординалы. Функция быстрорастущей иерархии из счетных ординалов создает конечные вычислимые числа.


Здесь же нас встречает еще одна функция из теории графов. По сути это аналог функции TREE(n) только не для древ, а для субкубических графов, таковыми называют конечные графы, в которых каждая вершина имеет не более трех путей соединения. Для таких графов существует аналогичная Теорема Робертсона-Сеймура, по условиям которой для каждого натурального числа n существует последовательность из субкубических графов G1, G2, ... со следующими свойствами: каждый Gi граф имеет не более i+n вершин; и нет среди них такого графа, который мог бы быть образован из последующих графов с удалением ребер и вершин или стягиванием ребер. Соответственно Теорема Робертсона-Сеймура утверждает, что такая последовательность не может быть бесконечной. Ну а уже известный нам Харви Фридман так же задался вопросом, сколько графов будет в данной последовательности в зависимости от числа n. Получившаяся функция будет расти намного намного быстре, чем TREE(n). Поскольку уже для SСG(0) = 6. А для последующих чисел она уже вообще берет почти нереальный разгон: SСG(1) > fε2⋅2(n), SСG(2) > fθ(Ωω)(n).

Общий рост функции оценивается примерно так: fθ(Ωω)(n) > SGN(n)

Последнее расширение массивной нотации придуманное Бердом обгоняет по своей силе и эту функцию. На этот раз он не вводил никаких хитростей, а просто использовал уже примененные наработки, а именно дозволил иерархиям самим по себе быть гипермерными, вложенными, гипервложенными и даже обладать собственными иерархиями, которые так же, в свою очередь, могут быть вложенными и так далее. Называется все это не без лишней гордости: Вложенной иерархической гипервложенной массивной нотацией.

fθ(Ωω)(n) > {n,n(1(2/1,22)2)2}
fθ(Ωω+1)(n) > {n,n(1(1/1,23)2)2}
fθ(Ωω+1)(n) > {n,n(1(1(1(1(1/2,22/3,22)2)2)2)2}
fθ(Ωω+2)(n) > {n,n(1(1(1(1(1(1/3,22/4,22)2)2)2)2)2}
fθ(Ωω+3)(n) > {n,n(1(1(1(1(1(1(1/4,22/5,22)2)2)2)2)2)2}
fθ(Ωω⋅2)(n) > {n,n(1(1(2/1,32)2)2)2}
fθ(Ωω⋅3)(n) > {n,n(1(1(1(2/1,42)2)2)2)2}
fθ(Ωω⋅4)(n) > {n,n(1(1(1(1(2/1,52)2)2)2)2)2}

fθ(Ωω2)(n) > {n,n(1(2/1,1,22)2)2}
fθ(Ωω2+1)(n) > {n,n(1(2/1,1,23)2)2}
fθ(Ωω2⋅2)(n) > {n,n(1(1/1,1,21/1,1,22)2)2}
fθ(Ωω2)(n) > {n,n(1(1(2/1,2,22)2)2)2}
fθ(Ωω2⋅2)(n) > {n,n(1(1(2/1,1,32)2)2)2}
fθ(Ωω2⋅3)(n) > {n,n(1(1(1(2/1,1,42)2)2)2)2}
fθ(Ωω2⋅4)(n) > {n,n(1(1(1(1(2/1,1,52)2)2)2)2)2}

fθ(Ωω3)(n) > {n,n(1(2/1,1,1,22)2)2}
fθ(Ωω4)(n) > {n,n(1(2/1,1,1,1,22)2)2}
fθ(Ωωω)(n) > {n,n(1(2/1(2)22)2)2}
fθ(Ωωω2)(n) > {n,n(1(2/1(3)22)2)2}
fθ(Ωωωω)(n) > {n,n(1(2/1(1,2)22)2)2}
fθ(Ωω[4]4)(n) > {n,n(1(2/1(1(2)2)22)2)2}
fθ(Ωω[4]5)(n) > {n,n(1(2/1(1(1,2)2)22)2)2}
fθ(Ωε0)(n) > {n,n(1(2/1(1/2)22)2)2}
fθ(Ωζ0)(n) > {n,n(1(2/1(1/1/2)22)2)2}
fθ(Ωη0)(n) > {n,n(1(2/1(1/1/1/2)22)2)2}

fθ(Ωφ(ω, 0))(n) > {n,n(1(2/1(1(2/22)2)22)2)2}
fθ(ΩГ0)(n) = fθ(Ωθ(Ω)(n) > {n,n(1(2/1(1(1/2/22)2)22)2)2}
fθ(Ωθ(ΩΩ))(n) > {n,n(1(2/1(1(1/1/2/22)2)22)2)2}
fθ(Ωθ(εΩ))(n) > {n,n(1(2/1(1(1/23)2)22)2)2}
fθ(Ωθ(ГΩ))(n) = fθ(Ωθ(Ω2))(n) > {n,n(1(2/1(1(1(1/22/32)2)2)22)2)2}
fθ(Ωθ(Ω3))(n) > {n,n(1(2/1(1(1(1(1/32/42)2)2)2)22)2)2}

Когда вложенность иерархий становится уже трудночитаемой Берд вводит обозначение Sn, которое и отображает уровень вложенности иерархий друг в друга.

fθ(Ωθ(Ωω))(n) > {n,n(1(2/1(1(2/1,22)2)22)2)2} = {n,n(1(2/S12)2)2}
fθ(Ωθ(Ωθ(Ωω)))(n) > {n,n(1(2/1(1(2/1(1(2/1,22)2)22)2)22)2)2} = {n,n(1(2/S22)2)2}
fθ(Ωθ(Ωθ(Ωθ(Ωω))))(n) > {n,n(1(2/1(1(2/1(1(2/1(1(2/1,22)2)22)2)22)2)22)2)2} = {n,n(1(2/S32)2)2}
fθ(ΩΩ)(n) > {n,n(1(2/Sn2)2)2}

Вот на этом наконец-то и заканчивается массивная нотация Берда. Невероятно поражает то, какой спектр сверхбольших чисел она может описывать и то, насколько это большие непостижимые разумом числа. Однако если вы внимательно читали третью часть, то должны помнить, что есть ординалы бо́льшие чем θ(ΩΩ), которые, соотвественно, при подставлении их в функции быстрорастущей иерархии сделают эти функции еще сильнее. Например, скорость функции fθ(ΩΩΩ)(n) такова, что полученное в ней число, уже невозможно описать массивной нотацией Берда, даже в самом ее максимальном расширении, а ведь за этой функцией последуют fθ(ΩΩΩΩ)(n), fθ(ΩΩΩΩΩ)(n) и так далее. Заканчивается эта последовательность как мы помним Ординалом Ратчена fθ(ΩΩΩΩ...)(n), самым большым придуманным рекурсивно достижимым ординалом, имеющим собсвтенное имя. Более корректно его нужно записывать так fθ(α↦Ωα)(n). Думаю вопрос назревает сам собой, а есть ли какая-нибудь функция, которая сопоставима по скорости роста с функцией быстрорастущей иерархии от ординала Ратчена. И такая функция есть, она была написана программистом Ральфом Лоудером на языке програмирования C. Вот некоторые значения этой фунции:

D1(99) > 2[4]30419
D2(99) > fε0⋅ω3(1000000)
D5(99) > fθ(ΩΩΩ)(99)

В целом же ее рост определяется как минимум таким:

fθ(α↦Ωα)(n) > Dn(n)

Не буду объяснять по какому принципу работает эта функция, и что она делает такого, что подставляемые в нее числа так невероятно быстро растут. Я лишь приведу ее програмный код, который можно ввести в компилятор языка програмирования С, что может быть установлен на любой компьютер.

[loader.c]
#define R { return
#define P P (
#define L L (
#define T S (v, y, c,
#define C ),
#define X x)
#define F );}

int r, a;
P y, X
   R y - ~y << x;
}
Z (X
   R r = x % 2 ? 0 : 1 + Z (x / 2 F
L X
   R x / 2 >> Z (x F
#define U = S(4,13,-4,
T  t)
{
   int
      f = L t C         
      x = r;
   R
         f - 2 ?
         f > 2 ?
         f - v ? t - (f > v) * c : y :
         P f, P T  L X  C 
                          S (v+2, t  U y C  c, Z (X )))
         :
         A (T  L X  C 
                T  Z (X ) F
}
A (y, X
   R L y) - 1
      ? 5 << P y, X 
      : S (4, x, 4, Z (r) F
#define B (x /= 2) % 2 && (
D (X 
{
   int
      f,
      d,
      c = 0,
      t = 7,
      u = 14;
   while (x && D (x - 1 C  B 1))
      d = L L D (X ) C
         f = L r C
         x = L r C
         c - r || (
            L u) || L r) - f ||
            B u = S (4, d, 4, r C 
                   t = A (t, d) C
            f / 2 & B  c = P d, c C 
                              t  U t C 
                              u  U u) )
             C
         c && B
            t = P
               ~u & 2 | B
                  u = 1 << P L c C  u) C 
               P L c C  t) C
            c = r  C
         u / 2 & B 
            c = P t, c C 
            u  U t C 
            t = 9 );
   R a = P P t, P u, P x, c)) C 
                                a F
}
main ()
   R D (D (D (D (D (99)))) F









После того как программа будет скомпилирована, ее можно запустить, и она начнет вычислять самое большое из ныне придуманных вычислимых чисел. Бессмысленно спрашивать сколько у нее это займет времени, можно сказать почти вечность, вероятно ни один физический объект не просуществует столько, возможно даже сами физические законы столько не просуществуют. Короче говоря, оценка времени вычисления, так же бессмыслена, как и оценка масштаба этого числа. Но теоретически процесс вычисления конечен, а значит это число вычислимое.

Парадокс состоит в том, что существуют невычислимые конечные числа, то есть процесс вычисления такого числа на компьютере будет бесконечен даже чисто теоретически, но само число при этом является конечным. Такие числа будут априори больше любых вычислимых чисел, но о них мы поговорим уже в следующей части цикла.

Сейчас же мы вернемся к тому правилу, которое установили в начале прошлой части: добиться самого большого числа, используя для его записи в применяемой нотации или функции не более 20 символов. Поскольку многие склоняются к тому, что функция быстрорастущей иерархии от ординала Ратчена растет все же быстрее, чем функция Лоудера, то ее мы и используем, чтобы создать наше самое большое вычислимое число. Пусть мы не знаем как написать программу для вычисления fθ(α↦Ωα)(n), но мы точно знаем, что эта функция вычислима, а значит одной только формализации этого числа будет достаточно. Отдадим дань тем, кто начал эту науку о сверхбольших числах и подставим в функцию гугол.

fθ(α↦Ωα)(10100) - ну вот уложились даже в 15 символов.

Справедливости ради, я хочу заметить, что мы все-таки достигли не самого большого числа, как вы могли бы подумать из названия статьи, а самого большого из ныне придуманных вычислимых чисел с использованием общепризнанных правил рекурсирования (бывают рекурсии и посильнее, см. постскриптум). Поэтому отчасти я, наверное, не оправдал надежды читателя, зато наглядно объяснил, что и в мире больших чисел не все так просто. В следующей шестой заключительной части цикла мы разберем с вами невычислимые числа - что же это такое и почему они больше вычислимых, а так же мы подведем итоги под всем циклом статей, и тогда у вас сложится окончательное представление о том, что такое гугология.

Занимательная Гугология, часть 4. Какое число самое большое? (1)

Дисклеймер: Перед тем как читать эту статью обязательно прочтите первую, вторую и третью часть этого цикла, иначе вы можете не понять о чем идет речь. К тому же если уже после третьей части у вас голова идет кругом от всех этих математических выражений и знаков, то предупреждаю: здесь их будет еще больше. Но если вы внимательно ознакомились с предыдущими статьями цикла, то это не должно стать для вас барьером.
1

Итак, что мы с вами знаем о больших числах. Во-первых, любое по-настоящему большое число является формализацией, то есть некой условной записью. Представить это число в его естественном количественном виде непосильная задача для человеческого мозга. Во-вторых, мы знаем, что существуют нотации для создания чисел, то есть это некие условные записи цифр и знаков, которые дают нам возможность выразить числа. С математической точки зрения нотации представляют собой функции, в которые мы подставляем меньшие числа (цифры), чтобы получить бо́льшие числа. Чем больше в результате получается число, тем сильнее считается нотация. Но что лежит в основе силы нотаций, то есть функций, которыми они по сути являются? Ответ: чаще всего это рекурсии, реже другие методы. Так или иначе, при создании самого большого числа, все сводится к созданию самой быстрорастущей функции. То есть основным критерием таких функций будет следующее правило: подставляя меньшие аргументы (значения, которые функция принимает) мы получаем все бо́льшие результаты.

Поэтому давайте и мы с вами определим границы для записи самого большого числа, которое позволяет сделать нотация или функция. Договоримся о следующем: запись не должна превышать по содержанию 20 символов. Тогда максимальное число в десятичной нотации будет равно 99 999 999 999 999 999 999 (девяносто девять секстиллионов девятьсот девяносто девять квинтиллионов девятьсот девяносто девять квадриллионов девятьсот девяносто девять триллионов девятьсот девяносто девять миллиардов девятьсот девяносто девять миллионов девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять). Одноэтажная логарифмическая закончится на 10999 999 999 999 999 999, что больше чем гугол, но даже близко не дотягивает до гуголплекса. За логарифмической записью идет гипероператорная, которая позволяет создавать вообще уже невообразимые числа, но записать число Грэма в 20 символах и ей не по зубам. Для этого в первой части я создал свою функцию: superhyper(3,3,6,64) - и уложился в аккурат в 20 символов. В общем, я думаю, принцип понятен.

Итак, поехали разбираться какая функция или нотация самая сильная и позволит нам записать самое большое число в 20 символах. Но чтобы сравнивать между собой силу нотаций и функций, нам нужен некий универсальный стандарт для сравнения с ним. Хорошо что такой измерительный эталон существует.

В математике есть семейство функций, которые называют функциями быстрорастущей иерархии. Вот их обычно и используют, чтобы сопоставлять с другими быстрорастущими функциями и измерять скорость, с которой они растут. Поэтому если мы хотим добраться до самых больших придуманных чисел, нам нужно понять что же это за функции быстрорастущей иерархии.

Первая в семействе это f0(n), по сути это просто итерация n+1, или проще говоря обычный счет:
f0(5) = 6
f0(10) = 11

Функция банального сложения n+m растет немного быстрее ее, потому как мы можем подставить любое число m, а не только 1.

Теперь внимание! Функция дублирования 2⋅n, считается еще более быстрорастущей, чем сложение. Это очень важно понимать! В случае сложения n+m мы зависим от двух переменных и чтобы увеличить результат нам нужно увеличить оба слагаемых, в случае дублирования же участвует всего одна переменная n+n=2⋅n, а значит для увеличения результата требуется меньше изменений внутри функции. Сформулируем это правило: среди двух почти одинаково растущих функций более быстрорастущей считается та, которая использует меньше аругментов.

Вернемся к функциям быстрорастущей иерархии. Следующей в семействе будет функция f1(n), она определяется рекурсивно от предыдущей функции f0(n). Объясняю что это значит: чтобы вычислить f1(n) нужно сначала вычислить f0(n), причем не просто вычислить а подставить саму в себя n-ное количесвто раз. Вот как это выглядит:

f1(1) = f0(1) = 1+1 = 2
f1(2) = f0(f0(2)) = (2+1)+1 = 4
f1(3) = f0(f0(f0(3))) = ((3+1)+1)+1 = 6
и т.д.
f1(n) = f0(f0(f0(...(n)...))) - n-вложений

Когда функцию нужно рекурсивно вложить саму в себя несколько раз, это обычно записывают так f n(). То есть мы можем более кратко записать: f1(n) = f0n(n). Так же выходит, что f1(n) эквивалентна дублированию, то есть f1(n) = 2⋅n, значит это одинаково быстрорастущие функции.

Идем дальше. Умножение растет еще быстрее: n⋅m, поскольку мы вольны умножать не только на 2, а на любое число. Возведение в квадрат имеет еще более быстрый рост, это происходит по той же причине, из-за которой дублирование растет быстрее сложения, банально, функции требуется всего один аргумент вместо двух: n2=n⋅n.

Ну а булеан 2n, если помните такую функцию по второй части, соответственно имеет еще более быстрый рост.

Здесь снова переходим к функциям быстрорастущей иерархии. Следующая на очереди f2(n), которая определяется так же рекурсивно f2(n) = f1n(n).

f2(n) = f1(f1(f1(...(n)...))) - n-вложений,
где каждый f1(n) = f0(f0(f0(...(n)...))) - n-вложений.

Иными словами мы уже имеем рекурсию внутри рекурсии. Вот так это рассчитывается:

f2(1) = f1(1) = f0(1) = 1+1 = 2
f2(2) = f1(f1(2)) = f1(f0(f0(2))) = f1(4) = f0(f0(f0(f0(4)))) = 8
f2(3) = f1(f1(f1(3))) = f1(f1(6)) = f1(12) = 24

f2(n) растет быстрее, чем булеан и равна 2n⋅n.

А вот перед тем как разбирать уровень роста f3(n), мы можем рассмотреть еще несколько других функций, которые растут намного медленнее нее и в то же время очень быстро для наших привычных масштабов. Начнем с логарифмической нотации 10n, та самая при помощи которой обычно кратко записывают астрономически большие числа, типа размера вселенной, количества атомов в ней, или все тот же пресловутый гугол: 10100.

Но возведение в степень mn растет еще быстрее, чем логарифмическая нотация, ибо вместо определенного числа (10) в основании мы можем использовать любое m. Соответственно функция nn, назовем ее самостепень, растет еще быстрее, причину этого я уже объяснял дважды и повторятся не буду.

Где-то между ними затесался факториал (mn < n! < nn), любимая функция комбинаторики, та самая, которая считает число возможных перестановок в системе: n! = 1⋅2⋅3⋅...⋅n. Скорость роста этой функции уже поражает воображение, так например, число перестановок в обычной колоде карт соизмеримо с астрономическими величинами.

А вот вам суперфакториал n$ = 1!⋅2!⋅3!⋅...⋅n!, который растет еще намного быстрее - эта функция редко используется на практике, но все же не привести ее здесь для наглядности я не мог.

Дальше переходим к тетрации n^^m, арифметическому действию четвертого уровня, так же записываемому как n[4]m. Как я отмечал в первой части, скорость роста этой функции огромна, и уже 4^^3 ≈ 10154 будет больше, чем гугол. Затем следует то, что можно назвать самотетрацией n^^n или n[4]n.

Вот где-то здесь по уровню скорости роста и располагается f3(n). Думая принцип вычисления этой функции вам уже должен быть понятен, поэтому сразу привожу примеры:

f3(1) = f2(1) = f1(1) = f0(1) = 1+1 = 2
f3(2) = f2(f2(2)) = f2(8) = 2048
f3(3) = f2(f2(f2(3))) = f2(f2(24)) = f2(402653184) = 2402653184 ⋅ 402653184 ≈ 10121210695

Затем идет петнация n^^^m или n[5]m, потом самопентация n^^^n или n[5]n, и только потом f4(n).

Не трудно догадаться, что далее идет хексация n^^^^m или n[6]m, самохексация n^^^^n или n[6]n, и следом f5(n).

И так далее по всему гипероператору. Мы даже можем вывести формулу:

fk(n) > n[k+1]n > n[k+1]m, которая справедлива в среднем по уровню роста, при разумных m.
Или fk(n) > 2[k+1]n, которая справедлива всегда.

Теперь внимание, мы переходим на новый уровень рекурсий. Как мы уже уяснили n[k]n быстрее n[k]m по скорости роста, при любом гипероператоре, начиная со сложения, умножения и так далее, потому что для роста функции нужно меньше аргументов. Это называется принцип диагонализации. Чтобы понять, что это означает, представьте себе таблицу умножения: в левом верхнем углу у нее находятся самые малые ее значения, а в правом нижнем углу самые большие. Кратчайший путь от самых малых до самых больших значений будет по диагонали, как раз по тому пути и проходит функция n⋅n. Этот же принцип можно применить и к функциям быстрорастущей иерархии: fn(n) будет расти быстрее, чем fk(n).


fn(n) это очень быстрорастущая функция. Она растет быстрее, чем гипероператор типа n[k]m, типа n[k]n и даже быстрее, чем n[n]n. Соотвественно она растет быстрее стрелочной нотации Кнута, которая отличается от гипероператора лишь: n↑km = n[k+2]m. Примерно с этой же скоростью растет функция Аккермана, очень важная функция из теории вычислимости, она определяется как A(n,m) = 2[m](n+3) - 3.

Функцию fn(n) принято обозначать как fω(n). Это всего лишь хитрый трюк. Из третьей части мы помним, что ω это первый трансфинитный ординал, обозначающий упорядоченность в бесконечности. Но в функциях быстрорастущей иерархии значек ω не связан с бесконечностью, он используется чтобы создавать диагонализационные рекурсии. Когда мы разбирали трансфинитные ординалы, вы должны были убедиться, что каждый ординал, который на порядок больше предыдущего, построен на новой рекурсии. Вот и математики решили, зачем изобретать велосипед, и позаимствовали эти рекурсии для функций быстрорастущей иерархии.

Теперь следите за тем, как создаются рекурсии на основе трансфинитных ординалов:

fω+1(n) = fω(fω(fω(...(n)...))) - n-вложений, или как мы уже знаем, более корректно это можно записать так fω+1(n) = fωn(n).

Это очень сильный скачек вперед. То есть в выражении fω(fω(n)) мы изначально вычисляем fω(n) = fn(n) а затем, внимание, fω(fn(n)) = ffn(n)(fn(n)).

Поэтому fω+1(n) растет намного быстрее, чем скажем fn[n]n(n). И уже такое число: fω+1(64) будет намного больше, чем Число Грэма.

Соотвественно, дальше идет:

fω+2(n) = fω+1(fω+1(fω+1(...(n)...))) - n-вложений, или fω+2(n) = fω+1n(n).

И уже где-то здесь по скорости роста расположилась моя функция superhyper(), которую мы использовали в предыдущих частях цикла.

fω(n) > superhyper(n,n,n)
fω+1(n) > superhyper(n,n,n,n)
fω+2(n) > superhyper(n,n,n,n,n)
fω+k(n) > superhyper(n,n,n,n,n,...) где k+3 аргумента функции

Переход на следующий уровень рекурсии выглядит так:

fω+n(n) = fω+ω(n) = fω⋅2(n)

Таковой будет скорость роста другой моей фунции quasi(), которая обобщает функцию superhyper(). А если точнее, то ее скорость будет даже такой: fω⋅2+3(n) > quasi(n,n)

На этом заканичваются масштабы, которые я еще как-то пытался визуализировать для читателя в первой части. В следующей пятой части мы будем разберирать еще более сильные нотации для записи чисел, которые уже не поддаются непосредственной визуализации, но вместо нее мы теперь можем использовать функции быстрорастущей иерархии.

Занимательная Гугология, часть 3. Как упорядочить бесконечность?

Дисклеймер: Перед тем как читать эту статью обязательно прочтите первую и вторую часть этого цикла, иначе вы можете не понять о чем идет речь. Так же хочу предупредить, что в этой статье ожидается намного больше математических символов и выражений, которые хоть и прекрасно объясняются, но если у вас врожденная аллергия на математический язык, то это чтиво может показаться для вас весьма трудным.
1

Зачем нам вообще понадобилось упорядочивать бесконечность? Ну во-первых это интересно, во-вторых это один из больших разделов гугологии, которую мы тут пытаемся познавать, а в-третьих без понимания этого мы не сможем понять как сегодня математики придумывают самые большие числа.

Но сперва давайте разберем какое значение порядок имеет для конечных чисел. На самом деле в математике для конечных чисел порядку не уделяется большого значения, чего не скажешь о нашей речи. Почти в каждом языке мира есть количественные и порядковые числительные. Для правильного изъяснения мыслей необходимо разделять по смыслу слова: один и первый, два и второй, три и третий и т.д. Но в математике казалось бы это не имеет смысла, ведь если у нас есть пять яблок, естественно есть и пятое. Да и все арифметические действия одинаково работают как с порядковыми, так и с количественными числами. Ну правда, к примеру, если на одной стороне улице стоит пять домов, а потом будет построено еще пять - их станет десять; так же как если бы я шел по этой улице и считал дома: досчитав до пятого, а потом пересчитав еще пять следующих за ним, я бы обнаружил десятый дом. И все же несмотря на то, что во многих разделах математики разделение чисел на количественные и порядковые не требуется, для них придуманы названия: порядковые - это ординалы, а количественные - это кардиналы. Запоминайте эти названия, если еще их не знаете, дальше мы будем использовать только их.

Однако, как я и упоминал, ординалы и кардиналы не отличаются только пока мы говорим о конечных числах. Как только речь заходит о бесконечности, ситуация меняется. Но как вообще порядок можно применить к бесконечности? Когда мы говорим бесконечное количество - это имеет смысл, однако выражение: находящийся под бесконечным номером - кажется нам бессмысленным, но так происходит только если мы говорим об однородной бесконечности. А ведь, бесконечности могут быть неоднородными. Вот вам хрестоматийный пример. Представьте себе бесконечную последовательность вертикальных линий, которая имеет начало, и в которой каждая следующая линия короче предыдущей, так же сокращается и расстояние между ними. Понятно, что в какой-то точке такая последовательность обращается в бесконечность, но наш глаз уже не сможет это разглядеть.

И вопрос - какое по порядку последнее число в этой последовательности - по-прежнему кажется нам бессмысленным, ибо в этой последовательности нет последней линии. Но если мы возьмем вот такой рисунок:

То здесь последняя линия есть. Так какой же у нее порядковый номер? Ну... получается, что ее номер это ∞ + 1. Но как мы выяснили в прошлой главе ∞ + 1 = ∞. Да, но в прошлой главе мы говорили о количественной бесконечности. А здесь перед нами порядковая беконечность. Очевидно, что это не одно и тоже. Нужно как-то их разделять. На самом деле математики уже давно их разделили. Количественную бесконечность выражают в так называемых трансфинитных кардиналах (что в дословном переводе с латинского означает количественное число за пределами бесконечности) и записывают их буквой еврейского алфавита Алеф (ℵ). Когда же речь идет о порядковой бесконечности употребляют выражение: трансфинитные ординалы (что в дословном переводе с латинского означает порядковое число за пределами бесконечности) и записывают буквой греческого алфавита омега (ω).

Значит, ∞ + 1 = ∞ справедливо только для кардиналов, то есть ℵ+1 = ℵ. Ординалы же подчиняются другому правилу: ω+1 > ω, а значит у них иная арифметика. Арифметику кардиналов мы рассмотрели во второй части. Получается то, что мы записывали там как ∞0, ∞1, ∞2, ∞3, правильно нужно записывать так ℵ0, ℵ1, ℵ2, ℵ3. Однако ∞ уже следует записывать так ℵω, потому что мощности бесконечности это порядковые числа. Как правильно записывать ещё бо́льшие кардиналы, я покажу в конце статьи.

Но пока вернемся к ординалам. Итак, после всех конечных порядковых чисел идет ω (первый трансфинитный ординал, иногда так же записываемый как ω0). Так же обратите внимание, что в математике порядковые числа принято считать с нуля (но это большой роли не играет).

Следующую линию можно обозначить ω+1, затем ω+2 и так далее до ω+ω (или ω⋅2). Тут стоит оговориться, что ω+1 ≠ 1+ω, то есть знакомый нам со школы закон о перестановке слагаемых с транфинитными ординалами не работает. И действительно, посмотрите снова на рисунок и попытайтесь отсчитать бесконечное число раз начиная с линии под номером "1", очевидно же, что до ω+1 вы не досчитаетесь, ибо бесконечность пересчитать невозможно. Значит 1+ω = ω.

С умножением транфинитных ординалов происходит тоже что и со сложением, закон перестановок множетелей не работает: 2⋅ω ≠ ω⋅2 и 2⋅ω = ω. В целом, последовательность из умножений ω⋅2, ω⋅3 ... закончится на ω⋅ω (или ω2). Вот так это можно визуализировать:
Хочу отметить, что несмотря на то, что мы уже добрались до ω2, мы по-прежнему обсуждаем с вами порядок, а не количество. А количество все так же остается равным ℵ0, как и на предыдущих рисунках. Ну а череду степеней также можно продолжить ω2, ω3, ... до ωω.

Дальнейшая визуализация этого безумия будет затруднительна, но я думаю принцип вам понятен. За ωω идет ωωω, ωωωω, ωωωωω, и так далее вплоть до бесконечной степенной башни из ω. Тут мы добрались до тетрации ординалов ω[4]ω, ее принято обозначать ε0 - эпсилон-нуль.

Перед тем как идти дальше, хочу пояснить, что так же как для конечных чисел есть несколько разных нотаций, для записи трансфинитных ординалов тоже придумано несколько нотаций. Та, которой мы сейчас пользуемся (ω, ε, ζ, η, Γ) это нотация Кантора, есть нотация Веблена - φ(), есть нотация коллапсирующей ординальной функции - θ(Ω), есть и другие, но нам они не понадобятся. Не пугайтесь всех этих греческих букв, в дальнейшем я все поясню.

Я не буду подробно расписывать как работает нотация Веблена, но покажу на примерах и вы сами поймете ее принцип.

1 = φ(0)
ω = φ(1)
ω2 = φ(2)
ω3 = φ(3)
ωω = φ(ω) = φ(φ(1))
ωωω = φ(φ(ω)) = φ(φ(φ(1)))
ωωωω =φ(φ(φ(ω))) = φ(φ(φ(φ(1)))
ωωωωω =φ(φ(φ(φ(ω)))) = φ(φ(φ(φ(φ(1)))
ε0 = ωωωωω... =φ(φ(φ(φ(...)))) = φ(1, 0)

Как вы уже поняли у трансфинитных ординалов своя собственная арифметика, которая отличается от арифметики трансфинитных кардиналов и арифметики конечных чисел. У ординальной арифметики намного больше особенностей. Вот, например, эпсилон-нуль, до которого мы добрались, из его определения получается что ωε0 = ε0, то есть ωε0 < ε0+1. А вот ωε0+1 = ε0⋅ω

Но давайте двигаться дальше. Что насчет ε1 ? Как нам его получить? Вы можете предположить, что раз ε0 создает тетрация ω[4]ω, то ε1 создает пентация ω[5]ω. Но вы окажитесь неправы, на самом деле до пентации еще далеко и ε1 это лишь ω[4]ω⋅2.  Может тогда ε0ε0 ? И снова нет, слишком мало. Нам нужна бесконечная степенная башня из эпсилон-нуль ε1 = ε0ε0ε0ε0ε0.... И дальше по тому же принципу: ε2 = ε1ε1ε1ε1ε1..., ε3 = ε2ε2ε2ε2ε2..., и так далее до εω, после чего следует εω+1 = εωεωεωεωεω.... Ну а отсюда сразу перепрыгиваем к εε0, оно же равно ω[4]ω[4]ω, а затем к εεε0, εεεε0 (равные ω[4]ω[4]ω[4]ω и  ω[4]ω[4]ω[4]ω[4]ω соотвественно), и так далее.

В конце-концов мы доберемся до εεεεε... и это называют ζ0 - дзета-нуль. Оно так же будет соответствовать ω[4]ω[4]ω[4]ω[4]ω... = ω[5]ω - пентации, вот и добрались до нее.

Далее пропустим все прилюдии вроде ζ0, ζ1, ζω, ζε0, ζζ0, и перейдем сразу к ζζζζζ..., что эквивалентно хексации ω[6]ω, и очевидно, что для этой конструкции нам нужна другая греческая буква, которую так же ввели: η0 - эта-нуль. Но так никаких букв не наберешься, поэтому давайте обратимся к нотации Веблена за более мощной рекурсией.

ε0= φ(1, 0) = ω[4]ω
ε1 = φ(1, 1)
ε2 = φ(1, 2)
ε3 = φ(1, 3)
εω = φ(1, ω) = φ(1, φ(1))
εε0 = φ(1, ε0) = φ(1, φ(1, 0))
εεε0= φ(1, εε0) = φ(1, φ(1, φ(1, 0)))
ζ0 = εεεεε... = φ(1, φ(1, φ(1, φ(1, ...))) = φ(2, 0) = ω[5]ω
ζ1 = φ(2, 1)
ζω = φ(2, φ(1))
ζε0 = φ(2, φ(1, 0))
ζζ0 = φ(2, φ(2, 0))
η0 = ζζζζζ...= φ(2, φ(2, φ(2, φ(2, ...))) = φ(3, 0) = ω[6]ω
φ(4, 0) = ω[7]ω
φ(5, 0) = ω[8]ω
φ(n, 0) = ω[n+3]ω

По сути вместо того, чтобы придумывать новую букву мы пишем ее номер φ(n, 0). Но ведь и тут можно продолжать подставлять трансфинитные ординалы:

φ(ω, 0) = φ(φ(1), 0) = ω[ω]ω
φ(ε0, 0) = φ(φ(1, 0), 0) = φ(φ(φ(0), 0), 0)
φ(ζ0, 0) =  φ(φ(2, 0), 0)
φ(φ(3, 0), 0)
φ(φ(4, 0), 0)
φ(φ(ω, 0), 0) = ω[ω[ω]ω]ω
φ(φ(ε0, 0), 0) = φ(φ(φ(φ(0), 0), 0), 0)
φ(φ(φ(φ(φ(0), 0), 0), 0), 0)
φ(φ(φ(φ(φ(φ(0), 0), 0), 0), 0), 0)

до тех пор пока функция не станет такой:

φ(φ(φ(φ(φ(φ(..., 0), 0), 0), 0), 0), 0) = φ(1, 0, 0) = ...[ω[ω[ω]ω]ω]... = θ(Ω) = Г0

Для этого безобразия тоже придумана буква и она называется Г0 - Гамма-нуль. Заметьте буква в обозначении записывается как заглавная, что как бы намекает, что рекурсия заложенная в ней мощнее, чем у ε, ζ, η и им подобным. Она же соответствует бесконечному вложению гипероператоров из ω или superhyper(ω,ω,ω,ω), если привлечь к этому мою функцию из первой части. Но я предлагаю оставить все эти придумывания букв (как собственно сделали и математики), а так же не мучать бедную ω всякими сверхфункциями над ней и отныне пользоваться только нотацией Веблена.

Так же обратите внимание, что начиная с этого момента можно использовать коллапсирующую ординальную функцию θ(Ω). Принцип ее работы я немного объясню в дальнейшем. Но сейчас давайте продвинемся дальше по нотации Веблена. А чтобы нам не пришлось опять карабкаться по рекурсиям, предлагаю совершить скачок от Г0, Г1, Г2, ... сразу к ГГГГ...

Г0 = φ(1, 0, 0)
Г1 = φ(1, 0, 1)
Г2 =  φ(1, 0, 2)
ГГГГ... = φ(1, 1, 0)

И, к сожалению, добраться до φ(2, 0, 0) у нас не получилось. Для этого нам необходимо еще нескончаемое количество заглавных букв (так же как понадобилось бы строчных букв для достижения Гамма-нуль). Поэтому вместо придумывания новых заглавных букв мы так же будем записывать их номер в нотации Веблена φ(1, n, 0). И, как вы догадываетесь, сюда тоже можно продолжать подставлять трансфинитные ординалы:

φ(1, 1, 0)
φ(1, 2, 0)
φ(1, ω, 0) = φ(1, φ(1), 0)
φ(1, ε0, 0) = φ(1, φ(1,0), 0)
φ(1, φ(1, 0, 0), 0)
φ(1, φ(1, φ(1, 0, 0), 0), 0)
φ(1, φ(1, φ(1, φ(1, 0, 0), 0), 0), 0)

До тех пор пока функция не станет такой:

φ(1, φ(1, φ(1, φ(1, φ(1, ..., 0), 0), 0), 0), 0) = φ(2, 0, 0) = θ(Ω⋅2)

После чего продолжим, пока:

φ(3, 0, 0) = θ(Ω⋅3)
φ(4, 0, 0) = θ(Ω⋅4)
φ(ω, 0, 0) = φ(φ(1), 0, 0) = θ(Ω⋅ω)
φ(φ(φ(1), 0, 0), 0, 0) = θ(Ω⋅θ(Ω⋅ω))
φ(φ(φ(φ(1), 0, 0), 0, 0), 0, 0) = θ(Ω⋅θ(Ω⋅θ(Ω⋅ω)))
φ(φ(φ(φ(...), 0, 0), 0, 0), 0, 0) = φ(1, 0, 0, 0) = θ(Ω⋅θ(Ω⋅θ(Ω⋅...))) = θ(Ω⋅Ω) = θ(Ω2)

То что мы сейчас получили, называют Ординалом Аккермана. Наконец-то коллапсирующая ординальная функция начинает раскрываться во всей красе

φ(1, 0, 0, 0, 0) = θ(Ω3)
φ(1, 0, 0, 0, 0, 0) = θ(Ω4)

Теперь мы даже можем вывести формулу соответствия нотации Веблена и коллапсирующей ординальной функции:

θ(Ωk⋅ak + ... + Ω2⋅a2 + Ω⋅a1 + a0) = φ(ak, ... ,a2, a1, a0, 0)

В общем все это, так или иначе, приведет нас к:

θ(Ωω) = φ(1, 0, 0, 0, 0, ...) где число нулей равно ω.

И это называют Малым Ординалом Веблена. И сразу назревает вопрос, если это малый, то какой же тогда большой. Получить его можно по тому же принципу вложения. Суть принципа в следующем:

θ(Ωθ(Ωω)) = φ(1, 0, 0, 0, 0, ...) где число нулей равно θ(Ωω). И так далее:

θ(Ωω)
θ(Ωθ(Ωω))
θ(Ωθ(Ωθ(Ωω)))
θ(Ωθ(Ωθ(Ωθ(Ωω))))
θ(Ωθ(Ωθ(Ωθ(Ωθ(Ω...)))))

Все это безобразие θ(Ωθ(Ωθ(Ωθ(Ωθ(Ω...))))) принято записывать так θ(ΩΩ). Вот он Большой ординал Веблена. Казалось бы, ну хватит, понятно уже, что рекурсиям над трансфинитными ординалами нет числа. Да я бы и сам с радостью уже остановился, но в пятой части цикла, когда мы будем обсуждать самое большое придуманное число, чтобы его понять нам потребуются ординалы еще больше.

Ну и прошу не забывать, что все что мы тут нагородили это ординалы, призванные для упорядочивания бесконечности. Причем очевидно, что чем выше уровень неоднородности у бесконечности, тем бо́льшие нужны трансфинитные ординалы для ее упорядочивания. Однако количественная характеристика этой бесконечности, по-прежнему, равна ℵ0, то есть мы все еще находимся в рамках первого трансфинитного кардинала, того же, что обозначет бесконечное количество натуральных чисел.

Забегая вперед, давайте спросим себя, а если мы будем упорядочивать бесконечность первой мощности ℵ1, например точки на линии, подойдут ли для этих целей те ординалы, которых мы достигли? Нет, их всех явно будет недостаточно, потому что они все счетные (как натуральные числа), а число точек на линии несчетно, то есть его нельзя никак сопоставить с какими-либо отдельными счетными элементами (ℵ0 < ℵ1). Поэтому для упорядочивания ℵ1 нам потребуется ω1 несчетный ординал, а для упорядочивания ℵ2 нужен ω2 несчетный ординал второй мощности и так далее. Уже ω1 будет больше любого из достигнутых нами счетных ординалов, и любых из тех, которых мы только собираемся достигнуть.

Так зачем же я тогда забегаю вперед? А все для того, чтобы приблизительно объяснить, как работает коллапсирующая ординальная функция θ(), поскольку для создания новых счетных ординалов нотация Веблена уже бесполезна. Эта функция θ() - способ выражать счетные ординалы через несчетные ординалы. Значек (Ω) внутри функции - это заглавная Омега, по сути, это просто иной способ записи первого несчетного ординала ω1. То есть Ω за пределами функции это ординал, который еще больше чем θ(Ω), θ(Ω2), θ(Ωn) θ(Ωω), θ(ΩΩ) и вообще больше, чем любой ординал, который может быть создан в коллапсирующей ординальной функции. Функция θ() его уменьшает и делает счетным. Я здесь не буду объяснять как ей это удается, ибо объяснение потребует углубленного знания теории множеств. Однако вы уже должны были убедиться как изменения, которые происходят внутри этой функции, влияют на общий рост рекурсии.

Тем не менее, мы можем продолжать дальше θ(ΩΩ), θ(ΩΩΩ), и пытливый ум скажет, что и у этой последовательности есть предел, который выглядит так θ(ΩΩΩΩ...). Называется сие чудо Ординал Бахмана-Говарда, так же иногда записываемый как θ(εΩ).

Конечно я понимаю, что все последующие рекурсии уже теряют всякую наглядность, но нам нужно продолжать карабкаться вверх.

По сути Ординал Бахмана-Говарда это θ(Ω[4]Ω), то есть тетрация внутри коллапсирующей функции. А это значит, что мы можем пропустить всякие там пентации θ(Ω[5]Ω) = θ(ζΩ), хексации θ(Ω[6]Ω) = θ(ηΩ), и сразу перейти к θ(ГΩ) = θ(..[Ω[Ω[Ω]Ω]Ω]...).

Дальше происходит интересная штука, дело в том, что функция θ() может замыкаться сама на себя. Объясняю, что это значит. Мы выяснили, что θ() делает из несчетного ординала Ω счетный ординал Г0. Для наглядности Ω выразим через его более корректную запись как ω1.Тогда получается:

Г0 = θ(ω1)
θ(Гω1) = θ(ω2)
θ(Гω2) = θ(ω3)

Грубо говоря, такое замыкание позволяет не только из несчетных ординалов делать счетные, но и изменять мощность несчетных ординалов внутри функции. Следовательно получается, что такое замыкание даст нам еще бо́льшие счетные ординалы:

θ(ГΩ) = θ(Ω2)
θ(Ω22)
θ(Ω2ω)
θ(Ω2Ω)
θ(Ω2Ω2) = θ(Ω2[3]Ω2)
θ(εΩ2) = θ(Ω2[4]Ω2)
θ(ГΩ2) = θ(Ω3)
θ(Ω4)
θ(Ωω)

И вот перед нами, то что называют Ординалом Бухольца θ(Ωω). Дальше следует еще один именной ординал, который хоть и не столь важен на нашем пути, но раз у него есть свое собственное имя, то давайте тоже на нем остановимся:

θ(Ωω+1)
θ(Ωωω)
θ(Ωω⋅Ωω)
θ(ΩωΩω)
θ(ΩωΩωΩω)
θ(ΩωΩωΩω...) = θ(εΩω)

Представляю Ординал Такеути-Фефермана-Бухольца θ(εΩω). При этом он получается неизмеримо меньше чем, например, θ(Ωω+1), начиная с которого мы продолжаем создавать новые безумные ординалы. Попытаемся добраться вот до такого ординала  θ(ΩΩ). Для этого мы будем использовать уже замыкание не самих несчетных ординалов внутри θ(), а их мощностей. Следите внимательно и считайте рубежи.

θ(Ωω+1)
θ(Ωω⋅2)
θ(Ωω2)
θ(Ωωω)
θ(Ωωωω...)  = θ(Ωω[4]ω) = θ(Ωε0)
θ(ΩГ0) = θ(Ωθ(Ω))

Первый рубеж взят: θ(Ωθ(Ω))

θ(Ωθ(Ω2))
θ(Ωθ(ΩΩ))
θ(Ωθ(εΩ)) = θ(Ωθ(Ω[4]Ω))
θ(Ωθ(ГΩ)) = θ(Ωθ(Ω2))
θ(Ωθ(Ω3))
θ(Ωθ(Ωω))
θ(Ωθ(Ωε0)) = θ(Ωθ(Ωω[4]ω))
θ(Ωθ(ΩГ0)) = θ(Ωθ(Ωθ(Ω)))

Второй рубеж взят: θ(Ωθ(Ωθ(Ω)))

Третий рубеж: θ(Ωθ(Ω)θ(Ω)θ(Ω))))
Четвертый рубеж: θ(Ωθ(Ω)θ(Ω)θ(Ω)θ(Ω)))))

А затем спустя наше любимое "и так далее" мы получаем:
θ(Ωθ(Ω)θ(Ω)θ(Ω)θ(Ω...))))) - вот такого монстра с бесконечной вложенностью, это и будет θ(ΩΩ).

Я понимаю, что многие уже устали от всех этих рекурсий и перестали понимать, что здесь вообще происходит. Специально для вас отвечаю: ничего нового не происходит, мы продолжаем создавать все бо́льшие и бо́льшие ординалы. Но спешу успокоить, наша последняя остановка уже близка и находится за пределами этой последовательности  θ(ΩΩ), θ(ΩΩΩ), θ(ΩΩΩΩ) ...

Итак, барабанная дробь, θ(ΩΩΩΩ...) - Ординал Ратчена.

Естественно можно придумать новую рекурсию в виде новой еще более сильной коллапсирующей ориднальной функции и создать еще бо́льший ординал, но мы как и большинство математиков, пока остановимся на этом. Ориднала Ратчена нам вполне хватит для наших дальнейших целей. Но мы обязаны заключить, что последующим рекурсиям нет конца.

Это как раз и подводит нас к следующему шагу в иерархии ординалов. А будет это абсолютно новый концептуальный скачек, который звучит следующим образом:

Существует ординал, который следует за всеми трансфинитными ординалами, созданными при помощи любых мыслимых рекурсий.

Его так же принято называть в честь придумавших его математиков Ординалом Черча-Клина, и записывать вот так: ωCK. По аналогии с тем как во второй части мы заключили, что рекурсиям кардиналов (количественных бесконечностей) нет числа, и ввели недостижимый кардинал, который будет больше их, так же и в этом случае Ординал Черча-Клина вводится аксиоматически, то есть по определению недостижим с помощью рекурсий. Значит это первый недостижимый счетный ординал.

Все ординалы, которые мы создавали с помощью рекурсий это своего рода способы упорядочить бесконечность. Когда мы разбирали малые трансфинитные ординалы, такие как ω, ω+1, ω⋅2, ω2, ωω, то еще могли изобразить ту бесконечность, которую они призваны упорядочить. Затем от визулизации мы отказались, но тем не менее, чисто теоретически, для каждого следующего ориднала можно было бы изобразить бесконечность, которую он упорядочивает. Теоретически можно визуализировать даже Ординал Ратчена, правда для этого понадобится какое-нибудь супер-гипермерно-гипервложеное пространство. Но Ординал Черча-Клина не поддается визуализации даже теоретически. При этом он счетный, то есть призван упорядочить счетную последовательность: первый, второй, ... ω-овый, ... ωω-овый, ..., Ординал Ратчена, ...... Ординал Черча-Клина. Напомню, что счетная последовательность это такая, в которой количество элементов равно ℵ0.

Получается, что какие бы мы тут с вами ординалы не придумывали бы, количественная характеристика у всех них по-прежнему равнялась обычной бесконечности, такой же как бесконечности из обычных натуральных чисел. Здесь мы подходим к самой скользкой теме в математике - проблеме, которая уже более ста лет подрывает ее устои, которую Гильберт в 1900 году поместил на первое место в своем знаметом списке неразрешённых математических задач, и которая до сих пор считается неразрешимой - континуум-гипотеза: 20 = ℵ00 = ℵ1. Я приводил ее во второй части, и там для простоты вычислений мы приняли ее верной, но я все же упомянул, что она не доказана (на самом деле даже недоказуема). Здесь же я объясню почему она не доказана и недоказуема. Это связано с ординалом, который идет следующий на очереди.

ω1 - это первый несчетный ординал, который следует за всеми счетными ординалами.

С ним мы уже знакомы и знаем, что его так же записывают как Ω. Он как раз и должен был доказать, что из счетной бесконечности можно сделать несчетную (20 = ℵ1). Получается, что раз ω1 - это попытка упорядочить последовательность из всех мыслимых счетных ординалов, то это значит, что чтобы ω1 был несчетным, данная последовательность тоже должна быть несчетной, то есть ее количественная оценка должна быть равна ℵ1.

Собственно в этом то и все противоречие, получается что если составить в ряд все мыслимые счетные ординалы, то они должны образовать несчетную последовательность, но это не так. В несчетной последовательности мы не можем перейти от одного элемента к другому, между ними всегда найдется еще бессчетное количество элементов, но между ω и ω+1 ничего нет. А если последовательность из всех мыслимых ординалов счетная, то тогда и ω1 должен быть счетным, но это противоречит его определению, так как он в число счетных ординалов не входит. Парадокс на лицо, получается, что если континуум-гипотеза верна, то это вызывает противоречие, но и если неверна, то тоже возникает противоречие, и как показывают все исследования этой темы за всё 20-е столетие, этот парадокс неразрешим в рамках принятых аксиом математики.

Давайте попробуем изобразить несчетный ординал ω1.
Сразу скажу, что эта иллюстрация лишь приблизительно отображает ситуацию. В данном случае нам нужно упорядочить последовательность из точек. То что, точки на линии не поддаются счету не означает, что у них отсутствует порядок. Отнюдь, они следуют одна за другой. Однако иллюстрация остается справедливой, пока у нас существуют только две выделенные точки под номером 0, и под номером ω1. Дело в том, что в отличие от тех рисунков, которые я приводил выше, мы не можем обозначить произовольную точку на линии, так чтобы ей присвоить какой-либо счетный ординал.

Задумайтесь, где на этой линии будет точка под номером 1, то есть следующая сразу за 0? А где будет точка под номером ω, ω+1, или под номером Ординал Ратчена, или даже под номером Ординал Черча-Клина? Отвечаю: все они будут бесконечно близки к 0. Поэтому любая выделенная нами точка на линии автоматически становится ω1. Но ведь мы ее уже обозначили, она у нас с вами находится за пределами линии. Это значит, когда на линии появляется выделенная точка, то точка за ее пределами уже определяется как некая следующая за ω1. А теперь представим, что на этой линии все точки выделенные, тогда ω1 тоже сдвигается бесконечно близко к 0. По идее следующая за ней должна стать ω1+1 , ω1+2 , ..., потом ω11 , ω1⋅ω1 , ω1ω1 и далее по всем рекурсиям аналогичным тем, что разбирали выше, а потом идут рекурсивно-недостижимые ω1. И все они по-прежнему бесконечно близки к 0. Поэтому, если у нас все точки на линии выделены, то нам никак не добраться до той точки, которая находится за ее пределами.

Но оставим все эти парадоксы и спросим себя, какова же количественная характеристика всех этих точек на линии, иными словами, сколько их. Ну это мы уже знаем, выяснили еще во второй части, что бесконечность точек на линии это ℵ1. Значит ординал ω1 и все следующие за ним соответствуют ℵ1. Ключевое слово здесь соответствуют, а не равны, ведь мы с вами уже уяснили, что трансфинитные ординалы и трансфинитные кардиналы это разные понятия, то есть бесконечный порядок нельзя сравнивать с бесконечным количеством, а можно только сопоставлять.

Как уже неоднократно упоминалось, арифметика у трансфинитных ординалов и трансфинитных кардиналов тоже отличается. Если 20 = ℵ00 = ℵ1 (допустим континуум-гипотеза верна), то это означает, что арифметические действия (степень и высшие) над кардиналами изменяют их мощность. Однако это не работает с ординалами 2ω = ω < ωω < ω1. Какие бы арифметические действия и рекурсии мы бы не проводили над ординалами их мощность не меняется. Что не делай, а из ω не получишь ω1, как и из ω1 не получить ω2, и так далее. Хочу заметить что обратное возможно, благодаря коллапсирующей функции из несчетных ординалов можно получить счетные, что мы и делали выше.

И все же... Всякий раз, когда нам необходимо будет упорядочить бесконечность бо́льшей мощности, нам потребуются более мощные ординалы. К примеру бесконечность кривых на плоскости это ℵ2 и для ее упорядочивания нам нужны будут ω2. Но на линии любой длины нам никогда не встретится точка под номером ω2. Бесконечность третей мощности уже не поддается визуализации, но для наведения в ней порядка нам так же потребуются ω3. В общем мысль, которую я хочу донести, заключается в том, что ωn всегда соответствует ℵn.

n| = ℵn

Соответсвенно, когда мы доходим до кардинала ℵω, который мы получили во второй части при помощи тетрации ℵ0[4]ℵ0, ему соответствует ωω. Вообще тетрация и высшие гипероператоры над трансфинитными кардиналами это очень спекулятивная тема среди математиков. Из-за того что континуум-гипотеза недоказуема, невозможно и четко формализовать эти выражения. Однако многие все же сходятся во мнении, что такие кардиналы, создаваемые высшими арифметическими действиями существуют, значит существуют и соответствующие им ординалы.

Прежде чем идти дальше нужно разобраться, что означает ℵω1 и соответсвующий ему ωω1. Для этого нам снова придется обратится к континуум-гипотезе. К тому же во второй части я обещал вам объяснить, как мощность бесконечности может быть несчетной, если она исчисляется натуральными числами. Так вот, если мы допускаем, что континуум-гипотеза верна, то тогда совокупность всех счетных чисел образует несчетное множество, а это значит после всех натуральных чисел и следующих за ними счетных оридналов, мы должны будем поставить несчетный ординал ω1 для обозначения мощности бесконечности.

Значит мы можем продолжать и дальше в этом же духе: ∞ = ℵωω (соответствует ωωω ), ∞ = ℵωωω (соответствует ωωωω ), ... и так до лестницы бесконечностей ∞... = ℵωωω...(соответствует ωωωω... ).

Как мы выяснили во второй части, если мы придерживаемся континуум-гипотезы, то пентация кардиналов ℵ0[5]ℵ0, это и есть лестница бесконечностей (ну и как мы выяснили уже в этой части, если поместить лестницу бесконечностей в коллапсирующую функцию это создаст Ординал Ратчена). И опять же благодаря континуум-гипотезе эта лестница может быть более бесконечной чем ℵ0, что дает нам возможности перейти к хексации. Но поскольку другой записи в математике обычно уже не вводится, то кардинал выражающий хексацию ℵ0[6]ℵ0, можно изобразить только так:
Если поменять первый значек "ℵ" на "ω", то это будет соответствующий ординал. А если поместить его внутрь коллапсирующей функции θ( ), то по идее, должен получиться счетный ординал еще больше, чем Ординал Ратчена. Так мы можем продолжить иерархию счетных ординалов. Но для этого нам понадобится уже другая коллапсирующая функция, которая будет в начале превращать несчетные кардиналы в несчетные ординалы, а потом коллапсировать их в счетные ординалы. Между прочем сам Ратчен и предлагал создание такой функции для преодоления рубежа θ(ΩΩΩΩ...). Обозначим эту функцию как θω( ), и получим следующее:

θ(Ω) = θω(ℵ0[3]ℵ0)
θ(Ωω) = θω(ℵ0[4]ℵ0)
θ(ΩΩΩΩ...) = θω(ℵ0[5]ℵ0)

После чего идет уже θω(ℵ0[6]ℵ0). Подробнее о продолжении иерархии счетных ординалов можно будет прочитать в посткриптуме, прилагающемся в конце этого цикла статей.

А ниже уже изображен кардинал ℵ0[7]ℵ0, у которого, аналогично меняем перый "ℵ" на "ω", чтобы получить его ординал.
Мысленно визуализацию можно продолжить до ℵ0[ω]ℵ0.
Но дальнейшая запись мощности кардиналов и соответствующих им ординалов уже не поддается никакой визуализации, а ведь за этим последуют вложения гипероператоров, а затем наши функции superhyper(), и quasi(), а затем весь приводимой мной перечень супермощных нотаций. И как мы выяснили, все эти рекурсии мощностей упираются в недостижимость, точнее в недостижимый кардинал (если изъясняться математически корректно, что мы уже умеем), которому так же будет соответствовать ординал с недостижимой мощностью.

За недостижимым кардиналом следует кардинал с еще бо́льшей недостижимостью (у него тоже есть соответствующий ординал) и так далее, пока все эти кардиналы и соответствующие им ординалы не начнут противоречить математическим аксиомам.

На этом закончим с бесконечностями. В четвертой и пятой частях цикла мы с вами вернемся к конечным числам и попробуем разобрать как при помощи трансфинитных ординалов можно создавать самые большие из них.

Занимательная Гугология, часть 2. Есть ли что-нибудь за пределами бесконечности?

Дисклеймер: Перед тем как читать эту статью я настоятельно рекомендую ознакомиться с первой частью этого цикла, поскольку многие понятия, которые я использую здесь, там уже были разъяснены, и здесь я повторяться не буду.

Дисклеймер для специалистов и тех кто уже немного в теме: В данной части под бесконечными множествами (∞) подразумеваются только кардинальные (א). В следующей части я объясню, что означают кардинальные множества. Все это сделано для максимального облегчения и так непростого материала.

1

Бесконечность очень любят математики. Однако физики приходят в ужас, когда в их уравнениях встречается бесконечность. Например, если спросить у физика, что находится внутри черной дыры он, будучи честным, ответит "не знаю", потому что решение уравнения черной дыры выдает в результате ответ, что в ее центре находится бесконечное искривление пространства. Иными словами, как только у физика где-то получается бесконечность он просто разводит руками и уповает на то, что однажды сможет создать уравнение, которое даст более определенный ответ. На самом деле в математике с бесконечностью тоже не все в порядке. До 1908 г. математики пытались доказать существование бесконечности, пока Эрнст Цермело не постановил, что существование бесконечности – это аксиома.

Напомню, что такое аксиомы. Это утверждения, принимаемые без доказательств, на их основе строится вся математика и вообще по-сути любая формализация: письменная, устная или мысленная. Например, в геометрии очевидно, что через две точки можно провести только одну прямую. Только вот это нельзя доказать – это аксиома, так есть и всё, смиритесь с этим!

Даже арифметика, которую проходят в начальной школе имеет свои аксиомы, их четыре. Я записал их здесь в немного измененном, но более понятном виде.

2

Их нельзя доказать или вывести из других утверждений. Так есть, и бессмысленно спрашивать почему они такие.

Остальные числа и арифметические действия это всего лишь дальнейшая формализация этих аксиом. Вообще, формализация - это и есть та способность человека, которая дает ему возможность постигать сверхбольшие числа и бесконечность, представляя их в виде формальных абстракций.

Но вернемся к бесконечности. Зачем вообще была нужна эта аксиома, которая вводит ее как должное? Дело в том, что без нее в математике возникало такая неприятная штука, которую называли множество всех множеств. Что ж это за гадость такая? Множество всех множеств – это абстрактное абсолютнейшее множество, которое включает в себя вааааще все, что только возможно, мыслимо и немыслимо. Однако существование такого множества делает математику противоречивой. В историю это противоречие вошло, как парадокс Рассела, в честь математика который его сформулировал.

Парадокс на самом деле весьма прост и звучит так: если существует множество всех множеств, то куда входит это множество. Для наглядности было придумано множество загадок. Мне больше всего нравится эта. Существует страна, в которой есть три закона: все жители должны жить в городах, в каждом городе должен быть мэр, мэр не может жить в одном городе с простыми горожанами. Казалось бы, очевидным решением было создать отдельный город для мэров – но вопрос, где будет жить мэр города мэров?

Если мы вводим бесконечность как аксиому, тогда необходимость в таком множестве автоматически отпадает. А в 1931 г. Курт Гёдель и вовсе доказал, что существование бесконечности может быть только аксиомой, то есть доказать, что бесконечность существует невозможно, можно только принять это.

Итак, бесконечность существует и она больше любого числа.

3

Гугол, гуголплекс, Число Грэма и даже любые придуманнанные в любых более сильных нотациях числа - все они ничто по сравнению с бесконечностью, ведь к ним всегда можно сделать +1 и снова +1 и так далее. Не существует самого большого числа, из него всегда можно сделать число еще больше.

А если к бесконечности прибавить 1, это что-нибудь изменит? Нам не нужно быть выдающимся математиком, чтобы осознать: сколько не прибавляй к бесконечности, она все равно останется бесконечностью. Хотя выдающиеся математики могут тут с нами поспорить, но об этом я расскажу в третьей части цикла.

То же самое с умножением. Даже если мы сложим или умножим бесконечность саму с собой, ничего не изменится.

Следовательно, вот вам и первые свойства бесконечности:

6

Дальше ориентироваться в арифметике бесконечностей нам поможет задача, называемая Отель Гильберта. По условиям задачи мы имеем отель с бесконечным количеством номеров, в которых живет бесконечное количество постояльцев. Вопрос, как заселить в отель еще одного человека?

Ответ, звучит так: нужно обратиться к постояльцу из номера "1" с просьбой о переселении в следующий по счету номер, и чтобы он попросил о том же постояльца из того номера, передав, что администрация отеля приносит глубочайшие извинения за неудобства. В итоге все постояльцы все равно останутся с номерами, а у нас появиться одно свободное место.

А если мы выселим одного постояльца, сколько их останется в гостинице. Конечно, по логике получается, что ∞. А если 2ух или 3ех - то тоже ∞. А если выселим ∞ постояльцев? По идее ∞ - ∞ должен получиться 0, но если рассмотреть эту ситуацию подробнее, то все оказывается не так просто. Допустим, если мы возьмем постояльцев из четных номеров и выселим их из отеля. Их число будет бесконечным, как собственно и число постояльцев оставшихся в нечетных номерах, следовательно:

7

Наши действия с выселением из четных номеров это все равно, что разделить бесконечность на два. Получается, что бесконечность деленная на любое число тоже дает бесконечность. И правда, ведь мы можем заселять постояльцев через один номер, оставляя их пустыми, так что на каждого постояльца придется по два номера, или через четыре номера, так что на каждого постояльца придется по пять номеров. Можем вообще каждому заселяющемуся отдавать по 10 или 50 номеров, да хоть по ∞ номеров в идеале, все равно в результате такого расточительства гостиничной собственности все постояльцы будут заселены, следовательно:

8

А раз мы выяснили, что ∞ / ∞ = ∞, это значит что бесконечность всех возможных дробных чисел равна бесконечности всех возможных целых чисел.

Ну а как быть со степенью. По сути, возведение бесконечности в степень – это тоже, что перемножить ее между собой несколько раз. Поэтому, в какую бы степень мы не возвели бесконечность, это не должно ничего изменить в сложившейся ситуации.

9

Однако возведение в бесконечную степень изменит результат. Но вот так сразу объяснить почему, не получится. Придется зайти издалека.

Для начала вспомним, чем рациональные числа отличаются от иррациональных.

Знаменитая теорема Пифагора, говорит, что если катеты прямоугольного треугольника равны 1, то его гипотенуза будет равна квадратному корню из двух. Понятно, что √2 это нецелое число. Но оно удивительно тем, что не существует дроби, в виде которой можно его представить, поскольку иначе числитель и знаменатель этой дроби должны быть бесконечными.

√2 ≈ 1,4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727...

По легенде считается, что Пифагор сам пришел к такому выводу. Естественно он понимал, что это будет нецелое число, но поначалу ему и в голову не приходило, что √2 невозможно записать дробью. Он считал, что должна существовать какая-то большая дробь, которая будет равна √2. Пифагор решил выяснить так ли это. Если увеличить стороны катетов до 2, то гипотенуза будет равна √8, что тоже не является целым числом. Пифагор думал, что увеличивая величину катетов, он рано или поздно получит целое число гипотенузы и докажет, что √2 можно записать дробью. Он был полностью обескуражен, когда понял, что в своем эксперименте целого числа он не получит никогда, сколько бы он не увеличивал стороны катетов.

Для Пифагора это был особенный удар, потому что он верил, что в основе нашего мира лежат целые числа, и что любое явление может быть составлено из отдельных единиц. Но из его эксперимента следовал вывод, что невозможно составить гипотенузу равностороннего прямоугольного треугольника из тех же единиц, из которых составлены катеты, и что в мире существуют числа, не поддающиеся рациональному восприятию. Опять же по легенде раскрытие этой тайны среди его последователей каралось смертью, ибо полностью разрушало их философию.

10

Но какое это отношение имеет к бесконечности? Самое прямое! Когда мы, например, делим бесконечную линию на отрезки, то получаем бесконечность отрезков, которые можно считать. Естественно, если мы попытается их сосчитать, то нам не встретится отрезка под номером √2. Однако если разбить бесконечную линию на безразмерные точки, то где-то на линии можно поставить точку равную отметке в √2. Как это сделать? Очень просто. Берем наш равносторонний прямоугольный треугольник прикладываем его сначала катетом, отмечаем точку 1, затем прикладываем гипотенузой и получаем точку √2. Но проблема в том, что используя традиционное математическое деление получить эту точку невозможно. Значит, сколь малые дробные числа мы бы себе не представили, где-то между ними всегда будут находиться иррациональные числа.

11

А это значит, что:

12

То есть у нас существует две разные бесконечности, одна больше другой. Спрашивать во сколько раз или на сколько раз бессмысленно. Больше и все тут. Их принято записывать с индексами 0 и 1, это называют мощностью бесконечности. То есть теперь ∞ = ∞0

13
Причем бесконечность бо́льшей мощности с легкостью поглащает бесконечность меньшей мощности: ∞1 + ∞0 = ∞1 и ∞1 ⋅ ∞0 = ∞1

Хорошо, но как со всем этим связано возведение в бесконечную степень? Опять же так сразу понять не получится. Сперва, нам нужно узнать, как хранятся иррациональные числа в компьютере.

Понятно, что иррациональное число это такое число, у которого бесконечная последовательность чисел, после запятой. А компьютер не может хранить бесконечную последовательность. Обычно хранится где-то 14, 15 знаков после запятой, остальные округляются. То есть самое точное значение √2, которое можно использовать в обычной компьютерной программе это 1,4142135623731.

А можно ли повысить точность? В принципе можно, но чтобы понять, как, нужно разобрать как компьютер вообще хранит числа.

Ну, это просто. Итак, сколько видов информации может хранить одна лампочка? Ответ очевиден: 2 – вкл и выкл. А две лампочки? Ответ: 4 – выкл+выкл, вкл+вкл, выкл+вкл, вкл+выкл.
А если у нас n лампочек:

14

Это выражение основа информатики. Оно называется Булеан. Лампочки это биты, а их булеан (2n) это числа, которые могут быть в них закодированы. То есть, имея 1 бит, мы можем закодировать числа от 0 до 1, имея 2 бита от 0 до 3, имея 8 бит от 0 до 255.

Для хранения дробных чисел используется 48 бит, что дает возможность записать любое дробное число с точностью от 0 до 1/281474976710655.

Соответственно, чем больше мы определим бит для записи дробного числа тем точнее оно может быть. Мы выяснили, что у иррационального числа бесконечный числитель и знаменатель, значит для их записи нужно бесконечное число бит. Значит бесконечное число бит позволит нам записать иррациональное число со всей его бесконечной точностью, а на самом деле, даже не одно число а все иррациональные числа, ибо ∞ + ∞ = ∞. Получается бесконечность иррациональных чисел и бесконечность целых чисел должны соотноситься как 2n.

15

Но на самом деле математики не знают так ли это, ибо это не доказано. Более того, на сегодняшний день доказательство этой гипотезы является одной из самых сложных нерешенных задач в математике (континуум-гипотеза), за разрешение которой назначена награда в миллион долларов. Проблема доказательства даже не в том, что оно очень сложное, а в том, что весь существующий на сегодня математический формализм не позволяет этого доказать. Подробнее об этом я расскажу в третьей части. Пока мы можем уверенно сказать лишь, что ∞ < 2.

Но в нашем обсуждении не так уж и важно, верна континуум-гипотеза или нет. В любом случае у нас появилась арифметическая возможность получать новые бо́льшие бесконечности.

16

Но для начала, давайте посмотрим, где можно встретить отражение бесконечностей разных мощностей.

17

Самое интересное в этом, то что на сегодняшний день неизвестна ни одна совокупность абстрактных объектов, которая составляла бы бесконечности третьей мощности (∞3). То есть, ∞3 не имеет никаких соответствий, даже если попытаться описать с помощью нее всевозможные абстрактные понятия. Ничто известное человечеству не составляет ∞3. Она не имеет никаких аналогий не только в реальности, но и в абстракции.

Можно сказать, что бесконечности выше третьей мощности это всем абстракциям абстракции. Фактически они не имеют никаких практических описательных применений. Тем не менее, приведенная выше формула позволяет нам создавать все более мощные бесконечности:

0, ∞1, ∞2, ∞3, ∞4, ∞5, ∞6, ∞7 … ∞

Хоть при помощи них уже нельзя ничего сосчитать, тем не менее, они существуют. Потому что все это следует из принятых нами аксиом арифметики и аксиомы бесконечности.

Но хорошо, вот мы дошли до бесконечности бесконечной мощности ∞, чтобы это не значило. А может ли быть у бесконечной мощности своя мощность, то есть:

18
А почему бы и нет. Тогда получается за ней последует ∞1. Однако некоторые могут скептически отнестись к такой конструкции. И хочу сказать, что ваши сомнения оправданы. Ведь мощности у бесконечностей выражаются натуральными числами, а как мы выяснили, бесконечность натуральных чисел это ∞0, и как такое возможно, что мощности вдруг стали исчиляться ∞1? Отвечаю: это возможно, но я пока не буду объяснять почему, скажу лишь, что такую конструкцию допускает континуум-гипотеза, подробнее об этом я расскажу в третьей части цикла.

Тогда получается, что за ∞1 идет ∞2 ..., ∞, ... и так далее. Но чтобы продвигаться дальше арифметическим методом, степени нам будет уже недостаточно. Нам понадобятся более сильные арифметические действия. Начнем с тетрации:

... = ∞[4]∞ = ∞
∞[4]∞ = ∞
∞[4]∞ = ∞

С ней вроде бы все понятно, с ее помощью можно увеличивать вложенность бесконечных мощностей. На очереди пентация бесконечностей.

∞[5]∞ = ∞...

С ее помощью мы добрались до бесконечности бесконечной мощности, у которой бесконечная мощность ... и так до бесконечности. Математики называют это лестницей бесконечности.

Многим может показаться, что всё, финиш, дальше продвигаться некуда. Но давайте представим, что в этой лестнице не просто ∞0 ступенек, а ∞1 ступенек. Некоторые из вас опять же возразят: как такое может быть, ведь ступеньки в этой лестнице отдельные счетные элементы и все их бесконечное множество не может превыщать по мощности ∞0. И опять же отвечу, что континуум-гипотеза это допускает, как допускает существование ∞1, как и обещал продробнее это будет рассмотрено в третьей части цикла. Пока поверьте на слово, что это возможно.

Теперь используя этот нюанс, попробуем выразить хескацию бесконечностей. Чтобы понять как, смотрите на рисунок ниже.
Вот этот последний монстр и будет ∞[6]∞. То есть у нас уже не просто лестница бесконечностей. А это лестница длиною в лестницу бесконечностей, которая длиною в лестницу бесконечностей, которая длиною в лестницу бесконечностей, которая... (и.т.д).

Визуализировать ∞[7]∞ будет еще сложнее. Это будет выглядеть так:
Все остальные гипероператоры визуализируются по такому же принципу. В итоге ∞[∞]∞ можно представить как вот такую вот бесконечную рекурсию из рекурсий:
Конечно вам может показаться, что все это пустые измышления. Может быть и так, но раз математика позволяет нам создавать такие структуры это значит, что они существуют, пусть не в реальности, пусть как абстракции, но существуют.

А может гипероператор быть больше чем обычная бесконечность, например ∞[∞1]∞? Может. И это все равно, что ∞[∞[3]∞]∞. А может быть еще больше? Конечно. Может быть и таким ∞[∞]∞ = ∞[∞[4]∞]∞. Пусть хоть он будет лесницей бесконечности ∞[∞...]∞ = ∞[∞[5]∞]∞. Пожалуйста. Вот только мы же не сможем визуализировать мощности таких структур, но опять же, это не значит, что они не существуют.

Итак, раз у нас уже начались вложения гипероператора, давайте сразу перейдем к ∞[∞[∞]∞]∞, затем к ∞[∞[∞[∞]∞]∞]∞ и так далее.

Затем мы можем привлечь функцию superhyper(), а после чего функцию quasi(), которые как вы помните я ввел еще в первой части цикла. Или можем сразу перейти к более сильным нотациям, с которыми я вас так же вкратце познакомил в конце первой части.

...[∞[∞[∞[∞]∞]∞]∞]... = superhyper(∞,∞,∞,∞)
superhyper(∞,∞,∞,∞,∞, ...) = quasi(∞,∞)
quasi(∞,∞) < ∞→∞→∞→4
∞→∞→∞→∞→... < {∞,∞,∞,∞,2}
{∞,∞,∞,∞,... }
и т. д.

Что дальше? Дальше идут еще более сильные нотации, которых я подробнее коснусь в пятой части цикла. Но так или иначе, дойдя до самой сильной нотации из придуманных, можно придумать еще более сильную нотацию, которая будет обладать еще бо́льшей рекурсией. А затем ввести еще одну, и еще одну, и еще... Понимаете куда я клоню? Последующим обобщениям, вложениям и рекурсиям нет конца.

Казалось бы, всё, дальше продвигаться бессмысленно, но математики пошли еще дальше.

Так же как аксиома арифметики устанавливает, что существуют числа, так же как аксиома бесконечности устанавливает, что существует бесконечность. Так же математики придумали новую аксиому, что существует недостижимость (INACCESSIBLE).

Что же это такое? Это означает, что существует нечто бо́льшее, чем любая из построенных нами бесконечностей.

26

То есть, какую бы бесконечность в результате введения новых функций мы бы не создали, недостижимость все равно будет всегда больше. Сколько бы рекурсий поверх нашей бесконечности мы бы не накручивали недостижимости мы так и не достигнем.

Можно возразить, ведь мы ее не получили, а выдумали. Но и обычную бесконечность математики не могут получить, а вводят как аксиому, значит, фактически тоже выдумывают. Даже обычные числа люди выдумали (ввели как аксиому) в природе нет ни 1, ни 2 - это абстракции. Разница лишь в том, что у чисел и бесконечности есть применимость, а у недостижимости нет. И вообще, как я уже здесь неоднократно упоминал, слово "выдумать" в математике правомерно до тех пор пока ново-выдуманное не противоречит старо-выдуманному.

Поэтому, не думаете же вы что математики на этом остановились? Конечно же нет, они задались вопросом, а может ли быть что-то бо́льшее. Для этого было напридумано множество новых аксиом.

Вот одна из таких аксиом:
Существует такое множество, величину которого нельзя описать принятым ранее математическим языком. Такое множество называют неописуемой недостижимостью (INDESCRIBABLE INACCESSIBLE). Такую недостижимость мы даже не можем выразить, используя значок "∞", как мы сделали это с обычной недостижимостью, ведь согласно определению это невозможно. Математики лишь утверждают, что:

27

Что ж, теперь у нас уже четыре аксиомы. Аксиома о существовании чисел, аксиома о существовании бесконечности, аксиома о существовании недостижимости, аксиома о существовании неописуемой недостижимости.

Как и говорилось, в математике есть и другие придуманные аксиомы, которые создают еще бо́льшие недостижимости. Вот их неполный перечень, расставленный в порядке возрастания:

недостижимость (INACCESSIBLE)
гипер-недостижимость (HYPER-INACCESSIBLE)
n-гипер-недостижимость (N-HYPER-INACCESSIBLE)
слабокомпактная недостижимость (WEAKLY COMPACT INACCESSIBLE)
неописуемая недостижимость (INDESCRIBABLE INACCESSIBLE)
несворачиаемая недостижимость (UNFOLDABLE INACCESSIBLE)
итерируемая недостижимость (INEFFABLE INACCESSIBLE)
рамсеевкая недостижимость (RAMSEY INACCESSIBLE)
измеримая недостижимость (MEASURABLE INACCESSIBLE)
сильная недостижимость (STRONG INACCESSIBLE)
сильнокомпактная недостижимость (STRONGLY COMPACT INACCESSIBLE)
сверхсильная недостижимость (SUPERSTRONG INACCESSIBLE)
срехкомпактная недостижимость (SUPERCOMPACT INACCESSIBLE)
расширяемая недостижимость (EXTENDIBLE INACCESSIBLE)
n-сверхсильная недостижимость (N-SUPERSTRONG INACCESSIBLE)
почти гигантская недостижимость (ALMOST HUGE INACCESSIBLE)
гигантсткая недостижимость (HUGE INACCESSIBLE)
сверхгигантская недостижимость (SUPERHUGE INACCESSIBLE)
n-гигантская недостижимость (N-HUGE INACCESSIBLE)
разрядовая недостижимость (RANK-INTO-RANK INACCESSIBLE)

Каждую из них создает отдельная новая аксиома или группа аксиом. Однако объяснить, что большинство из них означает человеку, не являющемуся математиком, практически невозможно. Даже математически подкованному специалисту, если он не знаком или поверхностно знаком с теорией множеств, скорее всего не понять их смысл.

Так, например, аксиома, которая создает самую большую известную на текущий момент сущность – разрядовую недостижимость (RANK-INTO-RANK INACCESSIBLE), была придумана в 1978 году, и звучит так:

Существует нетривиальное элементарное вложение L(Vλ + 1) в себя с критической точкой ниже λ, потому как существует нетривиальное элементарное вложение Vλ + 1 в себя, потому как существует нетривиальное элементарное вложение V в переходный класс М, который включает Vλ, где λ - первая фиксированная точка выше критической точки, потому как существует нетривиальное элементарное вложение Vλ в себя.

Врятли кто возьмется объяснить простым языком, что все это значит. Однако это кажется просто невероятным, как возможности нашего разума, как сила математического формализма способна создавать такие сущности, которые больше не только любых физических величин, но и любых мыслимых абстрактных объектов.

Пока что ничего бо́льшего чем разрядовая недостижимость не придумали.

Но вопрос все равно остался открытым, доколе можно вводить новые аксиомы, которые будут позволять нам увеличивать невообразимость создаваемых нами сущностей?

Что ж, математики не знают ответа на этот вопрос. На самом деле ответа тут может быть два:

1 – однажды мы дойдем до того, что любая новая аксиома сделает противоречивыми все наши построения и значит всё, бо́льших абстракций придумать невозможно.

2 – новым аксиомам может не быть конца...

На этом предлагаю остановиться и сделать передышку. В третей части я расскажу как можно упорядочить бесконечность, и как ни странно, понимание этого еще на один шаг приблизит нас к построению самого большого из придуманных чисел, о чем я поведаю уже в четвертой части цикла.

Занимательная Гугология, часть 1. Как записывать большие числа?

Есть такая наука гугология называется. Многие называют ее вымышленной, несерьезной и бесполезной. По сути это такой особый подраздел математики, в котором изучаются и создаются большие, сверхбольшие, гипербольшие и даже бесконечные числа. То, что наука "вымышленная" - тут не поспоришь, поскольку даже название свое берет от "вымышленного" числа - гугол (googol). Это наименование придумал девятилетний племянник американского математика Эдварда Казнера, исключительно ради забавы, чтобы обозначить число с сотней нулей после единицы. Однако то, что это число "вымышленное" отнюдь не значит, что оно не настоящее, современная наука вполне способна оперировать этим числом для описания реальных физических величин. А ныне крупнейшая IT-компания даже была названа в честь этого числа (правда из-за патентной политики предварительно исказив написание - google).

Если вы хоть раз задавались вопросом, какое число самое большое или есть ли что-нибудь больше бесконечности, значит где-то в душе вы тоже больны этой наукой. Сегодня, не имея математической подкованности, так просто понять все что в ней происходит наврятли получится. К тому же популярной литературы на эту тему на русском языке практически не существует. Поэтому я и решил создать цикл статей, в котором попробую максимально доступно объяснить, что же такое гугология.

Дисклеймер: Предупреждаю сразу, это не легкое чтиво. И несмотря на то, что я попытался, как можно проще рассказать обо всем этом, все равно для осмысления придется не хило напрячь мозги. Тем не менее школьного курса математики вам будет более чем достаточно. Так же хочу отметить, что с каждой частью цикла сложность будет нарастать, и для понимания последующих частей необходимо хотя бы частичное понимание предыдущих.

1
В самом начале своего пути по гугологии давайте разберем как мы вообще воспринимаем числа. Для этого я должен объяснить, что такое нотации, и не те, которые родители читают своим детям, а что такое математические нотации.

В математике, грубо говоря, нотацией принято называть способ записи чисел. При этом каждая нотация, по сути, является функцией. Напомню для тех кто совсем уж в танке, что, опять же грубо говоря, функция в математике это такая штука, в которую ты что-то подставляешь, а получаешь совсем другой результат.

Возьмем к примеру привычную нам десятичную нотацию. Ведь человечество очень долго шло к такой записи чисел. Первые нотации это были либо зарубки на деревьях, либо штрихи на глине. Затем люди придумали цифры - это символы, которые кодируют в себе число. Например, всем знакомые, римские цифры кодируют следующие числа I - 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500 и M - 1000. Составляем их в ряд и получаем краткую запись числа. Но такая нотация это весьма примитивная функция. По сути, это просто сложение (ну и еще вычитание для IV, IX и.т.д.). А вот арабские цифры это нотация, которая содержит в себе намного более сложную функцию. Порядок, в котором мы подставляем эти цифры в арабское число, играет важную роль. Вот так выглядит функция десятичной нотации:

цифра ⋅ 10n-1 + цифра ⋅ 10n-2 + ... + цифра ⋅ 100, где n - количество цифр в числе

Однако с самого детства, как только мы научились считать, эта формула настолько прочно поселилась в нашем мозгу, что нам сейчас кажется, что мы всегда понимали десятичную нотацию. Но это не так. Многие малые дети, которые обучаются счету (возможно и вы были в их числе), доходя до числа 11 пытаются придумать ему либо особое название, либо особую запись, потому что понятие числовых разрядов для ребенка очень сложно и не сразу поддается осознанию.

Сейчас же мы настолько привыкли к десятичной нотации, что нам кажется, что мы понимаем масштабы всех чисел, которые могут быть в ней записаны. Ну если масштаб числа 1000 еще можно представить, вот так бы оно выглядело в неформализованном виде у древнего человека, который делал зарубки на дереве:

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

Хотя, надо признаться, что от такого количества зарубок дереву мог быть нанесен непоправимый ущерб. Но вот наглядный масштаб числа 1000000 человеку уже почти непостижим. Это надо представить, что каждый штрих из тех что выше, превратился во всю эту совокупность штрихов. А значит, зачастую, когда мы говорим "миллион", то у нас происходит подмена понятий и мы представляем не число, а его десятичную нотацию.

Первое большое число, которому уже тесно в десятичной нотации, и о котором я уже говорил во вступлении, это Гугол. Для его записи обычно используют логарифмическую нотацию (запись числа с использованием степеней). Гугол = 10100, число с сотней нулей после единицы. Если же записать его в строчку десятичной записью, оно будет выглядеть вот так:

100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Это столь большое число, что мы не насчитаем никаких физических объектов соизмеримых с ним. Даже число элементарных частиц в наблюдаемой вселенной = 1088 (число с 88ми нулями после единицы)

Но мы можем считать не только физические объекты, например, до тепловой смерти вселенной осталось ровно 10100 - гугол лет.

Более того вы можете даже держать в руках, то что создаст для вас число бо́льшее чем гугол. Вам нужны всего лишь две колоды карт (всего 104 листа). Тщательно перемешайте их в одну колоду. А теперь спросите себя: сколько возможных вариантов последовательности карт может быть в такой колоде после того как вы ее перемешали. Ответ: 10165.

А вот еще... Число Объемов Планка в наблюдаемой вселенной = 10185. Напомню, что Объем Планка это самый минимально возможный объем в физике, на который можно разделить пространство.

Но мы всё топчемся на месте. Давайте возьмем число, которое еще на порядок больше. Представляю вам гуголплекс = 1010100. Это число (за авторством того же девятилетнего мальчика) имеет гугол нулей после единицы. И как вы понимаете я не смогу записать его в строку, более того, даже если бы я мог нарисовать ноль на каждой элементарной частице в пределах наблюдаемой вселенной, мне бы просто не хватило частиц, чтобы это сделать. То есть, это число вообще невозможно отобразить в десятичной нотации.

Давайте посмотрим можно ли что-то сопоставит с этим числом. Ну давайте представим, что вся вселенная бесконечна, а так как квантовая механика позволяет организовать материю конечным числом способов, то по статистике где-то далеко-далеко-далеко должна быть полная копия нашей планеты. Ученые посчитали это расстояние. Оно приблизительно равно 101028 км. До гуголплекса "немного" не дотянули.

Тогда так... После тепловой смерти вселенной все же будут происходить квантовые скачки, это такие события квантовой природы, которые способны спонтанно создавать какие-либо структуры. Такое событие надо сказать очень редкое, вряд ли стоить ожидать крупного квантового скачка до наступления тепловой смерти, а вот после у них будет предостаточно времени чтобы проявить себя. Вопрос стоит таким образом, сколько должно пройти времени, чтобы квантовый скачок спонтанно создал человека, вроде меня или вас. Ученые посчитали и это. Такое может произойти через 101050 лет. И опять не хватило до гуголплекса.

Может быть нас спасет комбинаторика? Колоду из скольких карт нужно взять и перемешать, чтобы мы потенциально могли получить больше гуголплекса вариантов последовательности карт внутри нее? Такая колода должна содержать гугол карт, да и то число возможных последовательностей будет:
1010100 < x < 1010101

Думаю на этом моменте, у вас не возникнет соблазна сказать, что числа записанные в более сильных нотациях (например, 1010100 - гуголплекс) "ненастоящие". Они такие же формализации как и десятичные числа.

Итак, что же мы выяснили. Бывают разные нотации для записи чисел и они отличаются по своей силе. Ну а сила нотации заключается в ее способности кратко записывать большие числа. Римская нотация сильнее, чем "зарубковая" нотация, а десятичная нотация еще сильнее, чем римская.  Следующая на очереди логарифмическая нотация для записи чисел типа гулог (10100) и гуголплекс (1010100). Но уже по гуголплексу видно, что ему тесно в логарифмической нотации.

Можно конечно и дальше городить башни из степеней, но и если степени будет недостаточно, то можно использовать высшие арифметические действия. Но для начала я должен объяснить, что же это такое, потому что в школе их обычно не проходят. Хотя я уверен, что многие задавались вопросом: вот есть у нас сложение, за ним умножение, потом степень, а дальше? Есть ли другие более сильные арифметические действия? Есть, но их проблема в том, что они не нужны, то есть совсем... Вот например, возьмем, тетратцию, это когда число возводится в степень равную ему несколько раз, к примеру так 2^2^2^2^2^2 = 2^^6. Это действие нигде не используется на практике. Вы не увидите его не в одной формуле, ни в физике, ни в геометрии, ни в алгебре, ну почти нигде.

Но наше любопытство неутомимо. А есть ли что-нибудь за тетрацией? Конечно есть. Новые арифметические действия можно вводить сколько угодно. А чтобы не запутаться, давайте их как-нибудь нумеровать. Сложение - 1, умножение - 2, степень - 3, тетрация - 4. Уровень арифметического действия называют гипероператором. А если более полно, то это обобщенная формализация арифметических действий.

4

Вот так принято записывать числа в тетрационной нотации: 10^^4 или 10[4]4 - это равно 10101010 и больше чем гуголплекс.  Что дальше, пентационная нотация? Мелко мыслите. Раз мы уже знаем, что гиперопертор обобщает все высшие арифметические действия, поэтому мы можем создать на порядок более сильную нотацию - гипероператорную  - a[n]b, где n - уровень арифметического действия.

Для наглядности запишем числа гугол и гуголплекс, используя гипероператор.
Гугол = 10[3]100
Гуголплекс = 10[3]10[3]100

Мало того что гипероператоры бо́льшие, чем 3 (степень), не имеют никаких практических применений, они еще создают очень большие числа. Уже начиная с 4-ого гипероператора (тетерации), если применить его на малых числах, мы получим сверхбольшие числа. Так, например 4[4]3 ≈ 10154

13407807929942597099574024998205846127479365820592393377723561443721764030073546976801874298166903427690031858186486050853753882811946569946433649006084096

Что больше гугла. Хотя это всего лишь 444 (по правилам степенная башня считается с конца).

Гипероператор уровнем 5 (пентация) вообще уже тяжело представить. Например, число 3[5]3 будет выглядеть как башня из степеней:

5

Это число будет намного больше чем гуголплекс. В доступной наблюдению и осмыслению физической реальности не найдется столько свойств или параметров, естественно не говоря уже об объектах, которые были бы хоть немного соизмеримы с этим числом. Тем не менее мы с легкостью формализировали его в виде простой записи: 3[5]3. В этом и есть сила человеческого разума, воображать то, что будет бо́льшим, чем сама вселенная вокруг него.

Немного передохните и идем дальше. Число 3[6]3 вообще нельзя представить в виде логарифмической записи. Это настолько много, что даже не пытайтесь это представить.

Понятно, что гипероператор можно увеличивать и дальше, образуя все более и более непостижимые числа. Но опять же, по сути, мы топчемся на месте. Следующий шаг требует нехило напрячь воображение. Для него нам понадобится самое большое число, которое когда-либо использовалось в математике для доказательств - Число Грэма.

Но перед тем как постигать масштаб Числа Грэма, я попробую в двух словах объяснить смысл этого числа. Число Грэма - это частное доказательство Теоремы Рамсея, которая опять же происходит из области комбинаторики. Суть теоремы можно объяснить следующим образом. У нас есть куб, все вершины которого соединены прямыми линиями: вертикальными, горизонтальными, диагональными. Мы вольны раскрасить все эти линии в любой из двух цветов: красный или синий. Наша задача состоит в том, чтобы сделать это так, чтобы отрезки находящиеся в одной плоскости были разного цвета. Иными слова чтобы не возникла такая фигура:

Для обычного куба эту задачу очень просто решить, причем разным числом способов. Мы можем раскрасить линии внутри нашего куба хотя бы так:

Но что если наш куб будет иметь не три, а четыре измерения. Да, представить такой куб невозможно, но в математике такие объекты существуют. Можно ли тогда решить эту задачу? Ответ: можно. И если будет пять измерений, то задача тоже решается. Однако Теорема Рамсея утверждает, что рано ли поздно, увеличивая число измерений куба, мы уже не сможем решить эту задачу, и как бы мы не раскрашивали линии куба, у нас все равно где-нибудь да получится плоскость раскрашенная в один цвет. Вопрос стоит так: сколько измерений должно быть у куба, чтобы правило раскраски обязательно бы нарушались. Ответ: число измерений должно быть равно Числу Грэма.

Теперь давайте вернемся к масштабу Числа Грэма. Итак, для его построения нам нужно сам гипероператор, то есть уровень арифметического действия увеличить до размера 3[6]3. Здесь, внимание: то есть, это будет ни тертарция, ни пентация, а 3[6]3-ация.

Тогда мы должны записать новое полученное число вот так 3[3[6]3]3. А если и это число мы используем как гиперопертор, тогда получим 3[3[3[6]3]3]3. Короче так вкладывать гипероператоры можно бесконечно и уровень невообразимости числа будет невообразимо возрастать.

Итак, представляю вам число Грэма =
3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [3 [ 6 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3 ]3

Всего 64 вложения гипероператоров. Вот такая рекурсия.

Поскольку это слово будет постоянно использоваться дальше, напомню для всех баянистый ответ на вопрос, что оно означает:

Это и есть самое большое число, когда-либо использованное в математическом доказательстве. Но это не самое большое из придуманных чисел. И нас с вами тоже ничто не останавливает перед созданием еще бо́льшего числа. Да, у него не будет применений даже в математике. Но ведь сам факт того, что мы это можем, еще раз доказывает силу формального мышления человека.

Предлагаю исключить такие банальности как Число Грэма умноженное на Число Грэма, или Число Грэма в степени Числа Грэма, или даже Число Грэма с гипероператором Числа Грэма. И так видно, что Число Грэма чувствует себя в гипероператорной нотации еще более скованно, чем Гугол в десятичной нотации. Поэтому, чтобы совершить новый скачек нам нужны другие более сильные нотации.

Можно ли придумать такие нотации? Конечно можно, и их напридумано великое множество. Но они очень сильные, и вот так сразу без подготовки посвящать вас в них мне бы не хотелось, потому что большинство из них слишком абстрактные и их практически невозможно показать наглядно. Поэтому я предлагаю две свои нотации для записи чисел, которым тесно в гипероператорной записи.

Я думаю не только одному мне пришло в голову, что можно не рисовать все эти вложения гипероператоров в числе Грэма, а как-то их записать. Что ж давайте придумаем функцию, которая будет принимать эти вложения как число. Назовем ее супергипероператор. Вот так она работает:

Тогда число Грэма в этой нотации будет выглядеть так: superhyper(3, 3, 6, 64).

Но на самом деле я предлагаю пойти еще дальше:

И еще дальше. Чтобы было вот так superhyper(a, b, n, m, l, k, j, i) =

И так далее. В общем, я думаю, принцип понятен. С каждым дополнительно подставляемым в функцию числом уровень рекурсий растет, как собственно и уровень невообразимости числа, которое они создают.

Получается, что обязательным числом, которое подставляется в функцию, является только первое, все остальные по умолчанию равны "1". То есть, например:
superhyper (5) = superhyper (5, 1, 1) = 5 + 1 = 6
superhyper (2, 2) = superhyper (2, 2, 1) = 2 + 2 = 4
superhyper (10, 10, 2) = superhyper (10, 10, 2, 1) = 10 ⋅ 10 = 100
superhyper (10, 100, 3) = superhyper (10, 100, 3, 1) = 10100 = googol


Но и эту функцию можно обобщить, придумав еще более мощную функцию, назовем ее квазиоператор, и вот что она из себя представляет:

quasi (a, 0) = superhyper (a)
= a+1

quasi (a, 1) = superhyper (a,a)
= a+a

quasi (a, 2) = superhyper (a,a,a)
= a[a]a

quasi (a, 3) = superhyper (a,a,a,a)
= ...[a[a[a]a]a]... } a-вложений

quasi (a, 4) = superhyper (a,a,a,a,a)
= ...[a[a[a]a]a]... } ...[a[a[a]a]a]... } ••• (a-вложений) ••• ...[a[a[a]a]a]... } a-вложений

и т.д.


Давайте разберем как работает наш квазиоператор на примере числа "3":

quasi (3, 0) = 3 + 1 = 4

quasi (3, 1) = 3 + 3 = 6

quasi (3, 2) = 33 = 27

quasi (3, 3) = очень много, но меньше числа Грэма

quasi (3, 4) = очень много, намного больше числа Грэма,
уже не выразить в обычной гипероператорной нотации


quasi (3, 5) = очень много, несравненно больше числа Грэма

Продолжать нет смысла, и так понятно, что уровень рекурсии очень мощный. Но на самом деле эти мои нотации достаточно слабы. Справедливости ради приведу здесь, как соотносятся наши функции superhyper() и quasi() с общепринятыми нотациями для записи чисел.

Стрелочная нотация Кнута:
a↑n = a[3]b
a↑↑n = a[4]b
a↑↑↑n = a[5]b
a↑...↑b -  = superhyper(a, b, n+2) = a[n+2]b
где "↑...↑" содержит n стрелок

Цепная нотация Конвея:
a → b → n → 1 = superhyper(a, b, n+2) = a[n+2]b
a → b → n → 2 = superhyper(a, b, 3, n)
a → b → n → 3 = superhyper(a, b, 3, n, ..., n, ab)
где количество "n, ..., n" равно n-1
quasi(n, n) < n → n → n → 4

Линейная массивная нотация Бауэрса-Берда:
{a, b, n, 1} = superhyper(a, b, n+2) = a[n+2]b
{a, b, n, 2} = superhyper(a, a, a+2, b-1, n)
quasi(n, n) < {n, n, n, 3}

А на рисунке ниже приведены все ныне разработанные нотации для записи больших чисел, включая и мои superhyper() и quasi(). Все нотации расположены в порядке возрастания их силы. К этой иерархии нотаций мы еще вернемся в пятой части цикла, когда будем выяснять какое число самое большое из придуманных, пока просто ознакомьтесь.
На этом я приглашаю вас во вторую часть цикла, где мы разберем что такое бесконечность, и есть ли что-либо бо́льшее чем она. Конечно, вы можете сказать: погоди, а как же самое большое из придуманных чисел. Оно явно меньше бесконечности, почему бы в начале не поговорить о нем. Однако поверьте, чтобы понять масштаб самого большого из придуманных чисел нужно вначале понять, что такое бесконечность, и есть ли что-нибудь за ее пределами.